Геодезична лінія — Вікіпедія

Геодези́чна лі́нія — крива на гладкому многовиді, головна нормаль якої ортогональна до многовиду. Геодезична лінія є узагальненням поняття прямої на викривлені (неевклідові) простори: така лінія для двох близько розташованих точок буде найкоротшою.

Зокрема геодезичними лініями будуть:

• на площині — пряма;
• на сфері — велике коло;
• на еліпсоїді, в загальному випадку, це незамкнена крива, що задається через еліптичні довготу і широту^[1].
• у просторі Мінковського геодезичною є світова лінія вільної матеріальної точки.

У метричних просторах поняття геодезичної лінії узагальнюється поняттям квазігеодезичної лінії. В загальній теорії відносності Айнштайна по геодезичних лініях викривленого простору-часу рухаються пробні частинки. Рівняння геодезичної в цьому випадку є рівнянням руху частинки.

Властивості кривої на многовиді[ред. | ред. код]

В охоплюючому многовид евклідовому просторі рівняння кривої задається функцією радіус-вектора ${\displaystyle \mathbf {r} }$ точки кривої від параметра ${\displaystyle t}$ кривої: ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (t)}$. Оскільки ця крива також лежить на ${\displaystyle n}$-вимірному многовиді, який задається рівнянням: ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (u^{1},u^{2},...u^{n})}$, то рівняння кривої дається функціями координат многовиду від параметра кривої ${\displaystyle t}$:

${\displaystyle (1)\qquad u^{i}=u^{i}(t)\qquad i=1,2,...n}$

Вектор кривини кривої є другою похідною від радіус-вектора по натуральному параметру ${\displaystyle s}$ кривої):

${\displaystyle \qquad \mathbf {k} ={d^{2}\mathbf {r} \over ds^{2}}}$

Одиничний вектор ${\displaystyle n}$ вздовж вектора кривини ${\displaystyle \mathbf {k} }$ є головною нормаллю кривої.

Вектор кривини ${\displaystyle \mathbf {k} }$ можна розкласти на дві частини: паралельну до многовиду й ортогональну до нього.

${\displaystyle \qquad \mathbf {k} =\mathbf {k} _{||}+\mathbf {k} _{\bot }}$

Паралельна частина кривини ${\displaystyle \mathbf {k} _{||}}$ називається геодезичною кривиною кривої. Згідно з означенням, для геодезичної лінії вона дорівнює нулю.

Обчислимо геодезичну кривину:

${\displaystyle (2)\qquad \mathbf {k} ={d^{2}\mathbf {r} (u(t)) \over ds^{2}}={d \over ds}\left(\mathbf {r} _{i}{du^{i} \over ds}\right)=\mathbf {r} _{i}{d^{2}u^{i} \over ds^{2}}+\mathbf {r} _{ij}{du^{i} \over ds}{du^{j} \over ds}=({d^{2}u^{i} \over ds^{2}}+\Gamma _{jk}^{i}{du^{j} \over ds}{du^{k} \over ds})\mathbf {r} _{i}+\mathbf {b} _{ij}{du^{i} \over ds}{du^{j} \over ds}}$

Отже контраваріантні координати геодезичної кривини дорівнюють:

${\displaystyle (3)\qquad k^{i}={d^{2}u^{i} \over ds^{2}}+\Gamma _{jk}^{i}{du^{j} \over ds}{du^{k} \over ds}}$

Функціонал довжини кривої[ред. | ред. код]

Найкоротшою лінією на многовиді, що сполучає дві точки многовида, є відрізок геодезичної лінії.

Розглянемо варіацію функціонала довжини кривої, параметр кривої ${\displaystyle t}$ пробігає значення від ${\displaystyle a}$ до ${\displaystyle b}$:

${\displaystyle (4)\qquad S=\int _{a}^{b}{\dot {\mathbf {r} }}\,dt}$${\displaystyle =\int _{a}^{b}{\sqrt {{\dot {\mathbf {r} }}^{2}}}\;dt}$

Перша варіація[ред. | ред. код]

У точці локального екстремуму перша варіація дорівнює нулю (для спрощення запису в наступних перетвореннях не будемо писати межі інтегрування).

${\displaystyle (5)\qquad \delta S=\int \delta {\sqrt {{\dot {\mathbf {r} }}^{2}}}\;dt=\int {{\dot {\mathbf {r} }} \over |{\dot {\mathbf {r} }}|}\cdot \delta {\dot {\mathbf {r} }}\;dt=-\int ({d \over dt}{{\dot {\mathbf {r} }} \over |{\dot {\mathbf {r} }}|})\cdot \delta \mathbf {r} \;dt=-\int {d^{2}\mathbf {r} \over ds^{2}}\cdot \delta \mathbf {r} \;ds=-\int \mathbf {k} \cdot \delta \mathbf {r} \;ds}$

В останній формулі варіація точок кривої ${\displaystyle \delta \mathbf {r} }$ лежить у дотичному до многовида афінному просторі, і ми можемо записати:

${\displaystyle \delta \mathbf {r} =\mathbf {r} _{i}\delta u^{i}}$

Оскільки варіації ${\displaystyle \delta u^{i}}$ довільні (хоча малі), то для рівності нулю останнього інтеграла в формулі (5) треба, щоб вектор кривини кривої (2) був ортогональним до многовиду, тобто геодезична кривина (3) дорівнювала нулю:

${\displaystyle (6)\qquad {d^{2}u^{i} \over ds^{2}}+\Gamma _{jk}^{i}{du^{j} \over ds}{du^{k} \over ds}=0}$

Формула (6) є рівнянням геодезичної лінії — диференційним рівнянням відносно невідомих функцій ${\displaystyle u^{i}=u^{i}(s)}$ при заданій метриці на многовиді (а отже і заданих символах Крістофеля ${\displaystyle \Gamma _{jk}^{i}}$).

Друга варіація[ред. | ред. код]

Повторимо обчислення варіації довжини кривої (4), але тепер будемо враховувати одночасно доданки першого й другого порядків. Для обчислень нам знадобиться розклад у ряд Тейлора (до членів другого порядку включно) функції квадратного кореня ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$:

${\displaystyle f(x+\Delta x)={\sqrt {x+\Delta x}}\approx {\sqrt {x}}+{1 \over 2{\sqrt {x}}}\Delta x-{1 \over 8x^{3 \over 2}}(\Delta x)^{2}}$

Підінтегральний вираз формули (4) для проварійованої кривої дорівнює:

${\displaystyle \qquad {\sqrt {({\dot {\mathbf {r} }}+\delta {\dot {\mathbf {r} }})^{2}}}={\sqrt {{\dot {\mathbf {r} }}^{2}+(2({\dot {\mathbf {r} }}\cdot \delta {\dot {\mathbf {r} }})+(\delta {\dot {\mathbf {r} }})^{2})}}}$

або, розкладаючи в ряд з точністю до членів другого порядку:

${\displaystyle (7)\qquad {\sqrt {({\dot {\mathbf {r} }}+\delta {\dot {\mathbf {r} }})^{2}}}\approx |{\dot {\mathbf {r} }}|+{1 \over 2|{\dot {\mathbf {r} }}|}(2({\dot {\mathbf {r} }}\cdot \delta {\dot {\mathbf {r} }})+(\delta {\dot {\mathbf {r} }})^{2})-{1 \over 8|{\dot {\mathbf {r} }}|^{3}}(2({\dot {\mathbf {r} }}\cdot \delta {\dot {\mathbf {r} }})^{2}+(\delta {\dot {\mathbf {r} }})^{2}))\approx |{\dot {\mathbf {r} }}|+{{\dot {\mathbf {r} }} \over |{\dot {\mathbf {r} }}|}\delta {\dot {\mathbf {r} }}+{1 \over 2|{\dot {\mathbf {r} }}|^{3}}({\dot {\mathbf {r} }}^{2}(\delta {\dot {\mathbf {r} }})^{2}-({\dot {\mathbf {r} }}\cdot \delta {\dot {\mathbf {r} }})^{2})}$

Розглянемо детальніше середній доданок в останньому виразі. У ньому ми маємо одиничний дотичний вектор ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={{\dot {\mathbf {r} }} \over |{\dot {\mathbf {r} }}|}={d\mathbf {r} \over ds}}$.

${\displaystyle \int _{a}^{b}({\boldsymbol {\tau }}\cdot \delta {\dot {\mathbf {r} }})\;dt=-\int _{a}^{b}{d{\boldsymbol {\tau }} \over dt}\cdot \delta \mathbf {r} \;dt=-\int _{0}^{S}\mathbf {k} \cdot \delta \mathbf {r} \;ds}$

Варіація ${\displaystyle \delta \mathbf {r} }$ за формулою Тейлора виражається через варіацію ${\displaystyle \delta u^{i}}$ координат на многовиді з точністю до членів другого порядку:

${\displaystyle \delta \mathbf {r} \approx \mathbf {r} _{i}\delta u^{i}+{1 \over 2}\mathbf {r} _{ij}\delta u^{i}\delta u^{j}}$

Збираючи все докупи, знаходимо першу й другу варіації, при цьому вважаючи параметр кривої натуральним:

${\displaystyle (8)\qquad S(u+\delta u)=S(u)+\delta S+{1 \over 2}\delta ^{2}S+\cdots }$

${\displaystyle (9)\qquad \delta S=-\int k_{i}\delta u^{i}\;ds}$

${\displaystyle (10)\qquad \delta ^{2}S=\int \left(-\mathbf {k} \cdot (\Gamma _{ij}^{s}\mathbf {r} _{s}+\mathbf {b} _{ij})\delta u^{i}\delta u^{j}+(\delta {\boldsymbol {\tau }})^{2}-({\boldsymbol {\tau }}\cdot \delta {\boldsymbol {\tau }})\right)\;ds}$

Другу варіацію можна повністю подати через варіації координат ${\displaystyle \delta u^{i},\delta {\dot {u}}^{i}=\delta \tau ^{i}}$ .

${\displaystyle \delta {\boldsymbol {\tau }}=\delta (\mathbf {r} _{i}\tau ^{i})=\mathbf {r} _{i}\delta \tau ^{i}+\mathbf {r} _{ij}\tau ^{i}\delta u^{j}=(\delta \tau ^{i}+\Gamma _{jk}^{i}\tau ^{k}\delta u^{j})\mathbf {r} _{i}+\mathbf {b} _{ij}\tau ^{i}\delta u^{j}}$

Позначимо ${\displaystyle \qquad D\tau ^{i}}$ варіацію одиничного дотичного вектора (разом із паралельним переносом на варіацію зміщення)

${\displaystyle (11)\qquad D\tau ^{i}=\delta \tau ^{i}+\Gamma _{jk}^{i}\tau ^{k}\delta u^{j}}$

Тоді обчислюємо, враховуючи ортогональність векторів ${\displaystyle \mathbf {r} _{i},\mathbf {b} _{jk}}$:

${\displaystyle (\delta {\boldsymbol {\tau }})^{2}=(D\tau ^{i}\mathbf {r} _{i}+b_{ij}\tau ^{i}\delta u^{j})^{2}=g_{ij}D\tau ^{i}D\tau ^{j}+(\mathbf {b} _{ij}\cdot \mathbf {b} _{kl})\tau ^{i}\tau ^{k}\delta u^{j}\delta u^{l}}$

${\displaystyle ({\boldsymbol {\tau }}\cdot \delta {\boldsymbol {\tau }})=g_{ij}\tau ^{i}D\tau ^{j}}$

І нарешті враховуємо зв'язок тензора Рімана через вектори повної кривини:

${\displaystyle R_{ijkl}=(\mathbf {b} _{ik}\cdot \mathbf {b} _{jl})-(\mathbf {b} _{il}\cdot \mathbf {b} _{jk})}$

Підставляємо обчислені вирази в другу варіацію:

${\displaystyle (12)\qquad \delta ^{2}S=\int \left(-\Gamma _{ij}^{s}k_{s}\delta u^{i}\delta u^{j}+{1 \over 2}g_{ij}g_{kl}(\tau ^{i}\wedge D\tau ^{k})(\tau ^{j}\wedge D\tau ^{l})-{1 \over 4}R_{ijkl}(\tau ^{i}\wedge \delta u^{j})(\tau ^{k}\wedge \delta u^{l})\right)\;ds}$

Де введено позначення зовнішнього добутку векторів — бівектора, або орієнтованої площадки, побудованої на двох векторах:

${\displaystyle a^{i}\wedge b^{j}=a^{i}b^{j}-a^{j}b^{i}}$

Обговорення формул варіацій геодезичної лінії[ред. | ред. код]

В формулу (9) для першої варіації входить скалярний добуток геодезичної кривини на варіацію координати. Якщо поблизу геодезичної лінії провести хвилясту лінію, близьку до синусоїди з частотою ${\displaystyle \omega }$, то для цієї хвилястої лінії матимемо приблизно таку геодезичну кривину: ${\displaystyle k^{i}\approx -\omega ^{2}\delta u^{i}}$. У цьому випадку скалярний добуток буде від'ємним (в евклідовому просторі): ${\displaystyle k_{i}\delta u^{i}\approx -\omega ^{2}(\delta u^{i})^{2}}$, а перша варіація (9) відповідно додатня: ${\displaystyle \delta S>0}$. Це означає, що хвиляста лінія завжди довша за геодезичну. (Звичайно, в псевдоевклідовому просторі це не так, оскільки квадрат вектора може бути як додатнім, так і від'ємним. У загальній теорії відносності тіла рухаються по геодезичній не тому, що так коротше, а з іншої причини — за інтерференційним принципом Гюйгенса для хвиль, адже нульова перша варіація означає, що при русі двох хвиль близькими траєкторіями фаза хвиль збігається).

У формулі другої варіації (10) для геодезичної лінії перший доданок у підінтегральному виразі перетворюється на нуль. Другий доданок завжди додатній, як квадрат бівектора ${\displaystyle \tau ^{i}\wedge D\tau ^{j}}$. Третій доданок може бути як додатнім, так і від'ємним. Зокрема, у плоскому просторі тензор Рімана дорівнює нулю ${\displaystyle R_{ijkl}=0}$, тому друга варіація завжди додатна, а отже будь-який відрізок геодезичної є локально найкоротшою лінією. Якщо ж третій доданок від'ємний, то може трапитись, що між точками можна провести іншу лінію, яка буде коротшою за першу. Наприклад, дуга великого кола на двовимірній сфері є геодезичною лінією: якщо така дуга коротша за ${\displaystyle \pi R}$, то вона буде найкоротшим шляхом між двома точками; якщо дуга дорівнює ${\displaystyle \pi R}$, то між двома точками (полюсами) можна провести багато однакових за довжиною геодезичних ліній (меридіанів); якщо ж довжина дуги великого кола більша ${\displaystyle \pi R}$, то кінцеві точки можна сполучити іншою дугою (близькою до геодезичної), яка матиме меншу довжину.

Взагалі можна довести, що на будь-якому многовиді досить короткий відрізок геодезичної завжди буде найкоротшим шляхом (на одиничній сфері «досить короткий» означає довжину менше π).

Рівняння геодезичної для довільного параметра[ред. | ред. код]

Формула (6) справедлива для натурального параметра (тобто параметра довжини лінії), або для параметра, що пропорційний довжині лінії з одним і тим же коефіцієнтом пропорційності в усіх точках лінії. Але нам може знадобитися також і не натуральний параметр геодезичної лінії, наприклад якщо на двомірному многовиді (поверхні) задано координати ${\displaystyle x,y}$ і ми шукаємо рівняння геодезичної у формі ${\displaystyle y=y(x)}$.

Похідні по параметру ${\displaystyle t}$ будемо позначати крапкою вгорі. Маємо такий зв'язок з похідними по натуральному параметру:

${\displaystyle {du^{i} \over ds}={{\dot {u}}^{i} \over {\dot {s}}}}$

${\displaystyle {d^{2}u^{i} \over ds^{2}}={d \over ds}\left({{\dot {u}}^{i} \over {\dot {s}}}\right)={1 \over {\dot {s}}}{d \over dt}\left({{\dot {u}}^{i} \over {\dot {s}}}\right)={1 \over {\dot {s}}^{2}}({\ddot {u}}^{i}-{{\ddot {s}} \over {\dot {s}}}{\dot {u}}^{i})}$

Підставляючи ці похідні в формулу (6) і помножуючи на ${\displaystyle {\dot {s}}^{2}}$, одержимо:

${\displaystyle (13)\qquad {\ddot {u}}^{i}-{{\ddot {s}} \over {\dot {s}}}{\dot {u}}^{i}+\Gamma _{jk}^{i}{\dot {u}}^{j}{\dot {u}}^{k}=0}$

Зауважимо, що формула (13), не розв'язана відносно других похідних, оскільки другі похідні координат входять в ${\displaystyle {\ddot {s}}}$.

Геодезична лінія двомірної поверхні[ред. | ред. код]

Виберемо на поверхні, заданої рівнянням ${\displaystyle z=z(x,y)}$ координати ${\displaystyle u^{1}=x,\;u^{2}=y}$. Квадрат елемента довжини запишеться (частинні похідні позначаємо індексом внизу ${\displaystyle z_{x}={\partial z/\partial x},\;z_{y}={\partial z/\partial y}}$):

${\displaystyle \qquad ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}=(1+z_{x}^{2})dx^{2}+2z_{x}z_{y}dxdy+(1+z_{y}^{2})dy^{2}}$

Звідки метричний тензор:

${\displaystyle \qquad g_{ij}=\delta _{ij}+z_{i}z_{j}}$

Цей тензор має два власні вектори : ${\displaystyle z_{i}}$ і ортогональний до нього ${\displaystyle a_{i}}$. Маємо:

${\displaystyle \qquad \sum _{j}g_{ij}z_{j}=z_{i}+z_{i}\sum _{j}z_{j}^{2}=\lambda z_{i}}$

де власне число

${\displaystyle \qquad \lambda =1+\sum _{i}z_{i}^{2}=1+z_{x}^{2}+z_{y}^{2}}$

Для ортогонального вектора ${\displaystyle a_{i}}$ власне число дорівнює одиниці:

${\displaystyle \qquad \sum _{j}g_{ij}a_{j}=a_{i}+z_{i}\sum _{j}z_{j}a_{j}=a_{i}}$

Визначник метричного тензора дорівнює добутку цих двох власних чисел:

${\displaystyle \qquad g=\det(g_{ij})=1\cdot \lambda =1+z_{x}^{2}+z_{y}^{2}}$

Тепер ми можемо знайти символи Крістофеля:

${\displaystyle \qquad \Gamma _{jk,i}={1 \over 2}(\partial _{j}g_{ik}+\partial _{k}g_{ij}-\partial _{i}g_{jk})={1 \over 2}(\partial _{j}(z_{i}z_{k})+\partial _{k}(z_{i}z_{j})-\partial _{i}(z_{j}z_{k}))=z_{i}z_{jk}}$

Оскільки вектор градієнта ${\displaystyle z_{i}}$ буде власним вектором для оберненої матриці ${\displaystyle g^{ij}}$ з власним числом ${\displaystyle {1 \over \lambda }={1 \over g}}$, то легко знаходяться і символи Крістофеля з верхніми індексами:

${\displaystyle (14)\qquad \Gamma _{jk}^{i}=g^{is}\Gamma _{jk,s}=(g^{is}z_{s})z_{jk}=z_{i}{z_{jk} \over g}}$

Користуючись щойно написаною формулою, ми можемо записати формулу (13) геодезичної лінії, з параметром ${\displaystyle t=x=u^{1}}$, помітивши, що:

${\displaystyle \qquad {\dot {u}}^{1}=x\,'=1,\qquad {\dot {u}}^{2}=y\,',\qquad {\ddot {u}}^{1}=0,\qquad {\ddot {u}}^{2}=y\,''}$

Таким чином, маємо два рівняння:

${\displaystyle (15)\qquad {\ddot {u}}^{1}-{{\ddot {s}} \over {\dot {s}}}{\dot {u}}^{1}+\Gamma _{jk}^{1}{\dot {u}}^{j}{\dot {u}}^{k}=-{{\ddot {s}} \over {\dot {s}}}+{z_{x} \over g}\Phi =0}$

${\displaystyle (16)\qquad {\ddot {u}}^{2}-{{\ddot {s}} \over {\dot {s}}}{\dot {u}}^{2}+\Gamma _{jk}^{2}{\dot {u}}^{j}{\dot {u}}^{k}=y\,''-{{\ddot {s}} \over {\dot {s}}}y\,'+{z_{y} \over g}\Phi =0}$

Де введено позначення:

${\displaystyle \qquad \Phi =z_{jk}{\dot {u}}^{i}{\dot {u}}^{k}=z_{xx}+2z_{xy}y\,'+z_{yy}y\,'^{2}}$

Обчислюючи ${\displaystyle {\ddot {s}} \over {\dot {s}}}$ можна показати, що рівняння (15) і (16) еквівалентні між собою, і еквівалентні простішому рівнянню, яке утворюється при відніманні від (16) рівняння (15), домноженого на похідну ${\displaystyle y\,'}$.

${\displaystyle \qquad y\,''+{(z_{y}-z_{x}y\,')\Phi \over g}=0}$

звідки

${\displaystyle \qquad gy\,''=(z_{x}y\,'-z_{y})\Phi }$

${\displaystyle (17)\qquad (1+z_{x}^{2}+z_{y}^{2})y\,''=(z_{x}y\,'-z_{y})(z_{xx}+2z_{xy}y\,'+z_{yy}y\,'^{2})}$

Див. також[ред. | ред. код]

• Символи Крістофеля
• Поле Якобі
• Спряжені точки

Примітки[ред. | ред. код]

Література[ред. | ред. код]

• Adler, Ronald; Bazin, Maurice; Schiffer, Menahem (1975), Introduction to General Relativity (вид. 2nd), New York: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-000423-8. Див. розділ 2.
• Volkov, Yu.A. (2001), Geodesic line, у Hazewinkel, Michiel (ред.), Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4.
• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — М.: Наука, 1980. — 976 с., ил.
• Мала гірнича енциклопедія : у 3 т. / за ред. В. С. Білецького. — Д. : Донбас, 2004. — Т. 1 : А — К. — 640 с. — ISBN 966-7804-14-3.