Геометричні характеристики перерізів — Вікіпедія

Геометри́чні характери́стики пере́різів — числові величини (параметри), що визначають розміри, форму, розташування поперечного перерізу однорідного за пружними властивостями деформівного елемента конструкції і, як наслідок, характеризують опір цього елемента різним видам деформації.

Площа поперечного перерізу[ред. | ред. код]

Розглянемо довільний поперечний переріз. Виділимо нескінченно малий елемент dA, положення якого в прямокутній системі координат визначається величинами x і y. У загальному випадку площа поперечного перерізу визначається у вигляді

${\displaystyle A=\int \limits _{A}dA.}$

Ця величина завжди додатна, має розмірність довжини в другій степені і виміряється у м², см², мм². Площа поперечного перерізу бруса є геометричною характеристикою його міцності й жорсткості не завжди, а лише при рівномірному розподілі механічних напружень у поперечному перерізі. При нерівномірному розподілі напружень, що має місце при роботі бруса в умовах кручення, його міцність і механічна жорсткість залежать уже від інших геометричних характеристик.

Статичний момент плоскої фігури[ред. | ред. код]

Статичний момент плоскої фігури (англ. First moment of area) відносно осі х або у дорівнює добутку усієї площі фігури на відстань від її центру ваги до цієї осі.

Розглянемо переріз у довільній декартовій прямокутній системі координат xOy. Виберемо елемент площі dA. Тоді величина

${\displaystyle S_{x}=\int \limits _{A}y\,dA}$

буде називатися статичним моментом площі A відносно осі х.

Аналогічно ${\displaystyle S_{y}=\int \limits _{A}x\,dA}$ — статичний момент цієї площі відносно осі y.

Розмірність статичних моментів площі — одиниці довжини в третьому степені (м³, см³). Статичні моменти площі можуть бути додатними, від'ємними та рівними нулю.

Координати центра тяжіння[ред. | ред. код]

Розглянемо той же переріз при паралельному переносі осей x₁ = x — b; y₁ = y — a. За визначенням:

${\displaystyle S_{x_{1}}=\int \limits _{A}y_{1}dA=\int \limits _{A}(y-a)dA=S_{x}-aA}$

${\displaystyle S_{y_{1}}=\int \limits _{A}x_{1}dA=\int \limits _{A}(x-b)dA=S_{y}-bA}$

Очевидно, що величини a і b можуть набувати довільних значень. Виберемо їх так, щоб виконувалися умови

${\displaystyle S_{x}=a\cdot A}$, ${\displaystyle S_{y}=b\cdot A}$

Тоді, ${\displaystyle S_{x_{1}}=0}$, ${\displaystyle S_{y_{1}}=0}$, і осі x₁, y₁ називаються центральними осями, а точка їх перетину — центром тяжіння (ваги) перерізу. Отже, положення центра тяжіння перерізну (точка C) визначається виразами

${\displaystyle x_{0}={\frac {S_{y}}{A}}}$, ${\displaystyle y_{0}={\frac {S_{x}}{A}}}$,

Для випадків, коли переріз може бути розбитий на прості складові частини, площі й координати центрів тяжіння яких відомі, положення центра тяжіння всього перерізу визначають за формулами:

${\displaystyle x_{0}={\frac {S_{y}}{A}}={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}A_{i}\cdot x_{i}}{\sum \limits _{i=1}^{n}A_{i}}}}$,

${\displaystyle y_{0}={\frac {S_{x}}{A}}={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}A_{i}\cdot y_{i}}{\sum \limits _{i=1}^{n}A_{i}}}}$.

Моменти інерції плоских перерізів[ред. | ред. код]

Моменти інерції плоских перерізів (англ. Second moment of area або англ. second moment of inertia). Розрізняють такі види моментів інерції плоских перерізів (фігур).

Осьовий момент інерції[ред. | ред. код]

Осьовий момент інерції відносно розглянутої осі — сума добутків елементарних площ dA на квадрат їх відстаней до цієї осі, взята по всій площі перерізу A.

${\displaystyle J_{x}=\int _{A}y^{2}dA;}$

${\displaystyle J_{y}=\int _{A}x^{2}dA.}$

Полярний момент інерції[ред. | ред. код]

Полярний момент інерції відносно даної точки — сума добутків елементарних площ dA на квадрати їх відстаней ${\displaystyle \rho ^{2}=y^{2}+z^{2}}$ До цієї точки, взята по всій площі перерізу A:

${\displaystyle J_{\rho }=\int _{A}{\rho }^{2}dA}$

${\displaystyle J_{\rho }=J_{x}+J_{y}.}$

Відцентровий момент інерції[ред. | ред. код]

Відцентровий момент інерції відносно осей координат — сума добутків елементарних площ dA на їх відстані до цих осей, взята по всій площі перерізу A:

${\displaystyle J_{xy}=\int _{A}xydA}$

Відцентровий момент інерції мають розмірність м⁴ і може бути додатнім, від'ємним і рівним нулю. Осі, відносно яких відцентровий момент інерції дорівнює нулю, називаються головними центральними осями.

Момент опору[ред. | ред. код]

Осьовий момент опору[ред. | ред. код]

Осьовий момент опору відносно заданої осі — величина рівна моменту інерції відносно тієї ж осі віднесеному до відстані до найвіддаленішої від цієї осі точки перерізу:

${\displaystyle W_{x}={\frac {J_{x}}{y_{max}}}}$;

${\displaystyle W_{y}={\frac {J_{y}}{x_{max}}}}$.

Полярний момент опору[ред. | ред. код]

Полярний момент опору аналогічно обчислюється за формулою:

${\displaystyle W_{p}={\frac {J_{p}}{\rho _{max}}}}$,

де ${\displaystyle \rho _{max}}$ — радіус розташування найвіддаленішої від осі кручення точки перерізу.

Радіус інерції[ред. | ред. код]

Момент інерції фігури відносно довільної осі можна представити у вигляді добутку площі фігури на квадрат величини, яку називають радіусом інерції:

${\displaystyle I_{x}=\int \limits _{A}y^{2}dA=Ai_{x}^{2},}$

де ${\displaystyle i_{x}}$ — радіус інерції відносно осі x. Тоді:

${\displaystyle i_{x}={\sqrt {\frac {I_{x}}{A}}};}$ ${\displaystyle i_{y}={\sqrt {\frac {I_{y}}{A}}}.}$

Джерела[ред. | ред. код]

• Опір матеріалів. Підручник /Г. С. Писаренко, О. Л. Квітка, Е. С. Уманський. За ред. Г. С. Писаренка — К.: Вища школа,1993. — 655 с. ISBN 5-11-004083-4
• Мильніков О. В. Опір матеріалів. Конспект лекцій. [Архівовано 20 січня 2022 у Wayback Machine.] — Тернопіль: Видавництво ТНТУ, 2010. — 257 с.

Посилання[ред. | ред. код]

• Геометричні характеристики поперечних перерізів [Архівовано 24 березня 2012 у Wayback Machine.]