Елементарна алгебра — Вікіпедія

Елемента́рна а́лгебра (англ. Elementary algebra) — алгебра, що подається у вигляді навчальної дисципліни, орієнтованої на вивчення у загальноосвітній школі. Разом з арифметикою, елементарною геометрією та плоскою тригонометрією належить до елементарної математики, яка вивчається у рамках шкільної програми^[1]. Дисципліна розглядає: основні поняття алгебри, основи комбінаторики, алгебраїчні вирази, раціональні та ірраціональні рівняння, системи рівнянь, функції та їх графіки, числові послідовності тощо.

Основні поняття[ред. | ред. код]

В алгебрі прийнято записувати математичні вирази (формули) в узагальненому виді, замінюючи конкретні числа на літерні символи, завдяки чому при вирішенні однотипних задач досягається максимальна узагальненість результату. Основним змістом алгебри є правила тотожних перетворень формул, що є необхідними для вирішення рівнянь, аналізу залежностей, оптимізації системи, що розглядається та інших практичних задач^[2].

Крім літер і чисел, у формулах елементарної алгебри використовуються арифметичні операції: (додавання, віднімання, множення, ділення, піднесення до степеня, добування кореня) та елементарні функції (логарифм, тригонометричні функції). Дві формули, об'єднані знаком рівності, називаються рівнянням.

Алгебраїчна нотація визначає загальні особливості запису алгебраїчних виразів. Тут є певні правила, домовленості та спеціальна термінологія. Наприклад у виразі ${\displaystyle 3x^{2}-2xy+c}$ є наступні компоненти:

Якщо символ операції між двома виразами не вказаний, то мається на увазі операція множення:

${\displaystyle ab=a\cdot b;\;1{,}2\ x=1{,}2\cdot x;\;\pi (a^{2}+b^{2})=\pi \cdot (a^{2}+b^{2})}$

Приклад формули: площа трикутника ${\displaystyle S}$ так виражається через довжину однієї із сторін ${\displaystyle a}$ і величину висоти ${\displaystyle h}$, опущеної на сторону ${\displaystyle a}$:

${\displaystyle S={1 \over 2}ah}$

Найпростіший алгебраїчний вираз — це одночлен, що складається з числового множника, помноженого на один або більше літерних символів^[3]. Приклади:

${\displaystyle 1{,}2\ x;\;{\sqrt {2}}abc^{2};\;x^{2}w}$

Алгебраїчні суми (тобто суми та/або різниці) одночленів називають многочленами. Вирази, що мають вид частки від ділення одного многочлена на інший, називається алгебраїчним дробом. Дії з алгебраїчними дробами є аналогічними до дій із звичайними дробами — розкладання чисельника й знаменника на множники, приведення декількох дробів до спільного знаменника, скорочення чисельника й знаменника на спільний множник тощо.

Закони елементарної алгебри[ред. | ред. код]

Обчислення значення виразу[ред. | ред. код]

Порядок виконання операцій вказується дужками. Якщо дужки відсутні, то пріоритетність у порядку зменшення є наступною:

1. Піднесення до степеня.
2. Обчислення функції.
3. Множення та ділення.
4. Додавання та віднімання.

Приклади:

• ${\displaystyle a^{b^{c}}=a^{(b^{c})}}$
• ${\displaystyle \sin x^{2}=\sin(x^{2})}$
• ${\displaystyle \sin a+b=(\sin a)+b}$

При обчисленні значення виразу замість літерних символів підставляють їхні числові значення, виходячи з умови конкретної задачі. Множина числових значень, при яких вираз має зміст, називається областю допустимих значень цього виразу^[4]. Приклад: для виразу ${\displaystyle ~{\frac {a+b}{a-b}}}$ область допустимих значень — усе пари ${\displaystyle a,b}$, у яких ${\displaystyle a\neq b}$.

Властивості операцій[ред. | ред. код]

• Комутативність (властивість перестановки) додавання:

${\displaystyle a+b=b+a.\ }$

• Віднімання є дією, оберненою до додавання.
• Віднімання числа b є рівнозначним додаванню числа протилежного знаку:

${\displaystyle a-b=a+(-b).\ }$

• Комутативність (властивість перестановки) множення:

${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a\ }$

• Ділення є дією, оберненою до множення.
• Ділення на нуль є неможливим.
• Ділення на число b є рівнозначним множенню на число, обернене до b:

${\displaystyle {a \over b}=a\left({1 \over b}\right).}$

• Піднесення до степеня не є комутативним. Тому у нього є дві обернені операції: добування кореня й логарифмування.
  • Приклад: якщо ${\displaystyle 3^{x}=10}$, то ${\displaystyle x=\log _{3}10.}$ Якщо ${\displaystyle x^{2}=10}$, то ${\displaystyle ~x={\sqrt {10}}.}$
• Корінь парного степеня з від'ємного числа не існує (серед дійсних чисел).
• Асоціативна (сполучна) властивість додавання: ${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c).}$
• Асоціативна (сполучна) властивість множення: ${\displaystyle (ab)c=a(bc).}$
• Дистрибутивна (розподільна) властивість множення: ${\displaystyle c(a+b)=ca+cb.}$
• Дистрибутивна (розподільна) властивість для піднесення до степеня: ${\displaystyle (ab)^{c}=a^{c}b^{c}.}$
• Додавання показників степеня: ${\displaystyle a^{b}a^{c}=a^{b+c}.}$
• Множення показників степеня: ${\displaystyle (a^{b})^{c}=a^{bc}.}$

Властивості рівності[ред. | ред. код]

• Якщо ${\displaystyle a=b}$ і ${\displaystyle b=c}$, то ${\displaystyle a=c}$ (транзитивність рівності).
• ${\displaystyle a=a}$ (рефлексивність).
• Якщо ${\displaystyle a=b}$, то ${\displaystyle b=a}$ (симетричність).

Інші закони[ред. | ред. код]

• Якщо ${\displaystyle a=b}$ і ${\displaystyle c=d}$, то ${\displaystyle a+c=b+d.}$ (адитивність рівності)
  • Якщо ${\displaystyle a=b}$, то ${\displaystyle a+c=b+c}$ для будь-якого c
• Якщо ${\displaystyle a=b}$ і ${\displaystyle c=d}$, то ${\displaystyle ac}$ = ${\displaystyle bd.}$ (мультиплікативність рівності)
  • Якщо ${\displaystyle a=b}$, то ${\displaystyle ac=bc}$ для будь-якого c
• Якщо значення двох символів збігаються, то замість одного можна підставити інший (принцип підстановки).
• Якщо ${\displaystyle a>b}$ і ${\displaystyle b>c}$, то ${\displaystyle a>c}$ (транзитивність порядку).
• Якщо ${\displaystyle a>b}$, то ${\displaystyle a+c>b+c}$ для будь-якого c.
• Якщо ${\displaystyle a>b}$ і ${\displaystyle c>0}$, то ${\displaystyle ac>bc.}$
• Якщо ${\displaystyle a>b}$ і ${\displaystyle c<0}$, то ${\displaystyle ac<bc.}$

Деякі алгебраїчні тотожності[ред. | ред. код]

Див. також: Біном Ньютона

${\displaystyle (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}}$

${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2};\;(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}}$

${\displaystyle (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3};\;(a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}}$

${\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2});\;a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})}$

Розв'язування рівнянь[ред. | ред. код]

Рівняння — це рівність виду:

${\displaystyle f(x_{1},x_{2}\dots )=g(x_{1},x_{2}\dots )}$

Розв'язування рівняння — сукупність дій стосовно рівності, для знаходження таких значень аргументів, при яких ця рівність забезпечується. На можливі значення аргументів можуть бути накладені додаткові умови (цілочисельності, дійсності тощо). Розв'язування рівнянь — одна з головних задач алгебри зокрема і математики взагалі. У ході історичного розвитку науки були розроблені різноманітні методи (алгоритми) розв'язування для великої кількості різновидів цієї задачі.

Див. також[ред. | ред. код]

• Алгебра
• Таблиця математичних символів
• Історія математичних позначень

Примітки[ред. | ред. код]

Джерела[ред. | ред. код]

• Завало С. Т. Елементарна математика. Алгебра. — К. : Вища школа, 1971. — 356 с.
• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М. : Астрель, 2001. — 509 с. — ISBN 5-17-009554-6.
• Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М. : Наука, 1976. — 592 с.
• Глейзер Г. И. История математики в школе. — М. : Просвещение, 1964. — 376 с.
• Шклярский Д. О., Ченцов Н. Н., Яглом И. М. 1: Арифметика и алгебра // Избранные задачи и теоремы элементарной математики. — 5-е издание. — М. : Наука, 1976. — 384 с.
• Туманов С. И. Элементарная алгебра: пособие для самообразования. — 3-е изд., перераб. и доп. — М. : Просвещение, 1970. — 864 с.

п о р Розділи математики огляд[en] переліки тем Галузі Алгебра елементарна лінійна полілінійна абстрактна Теорія груп геометрична комбінаторна обчислювальна Алгоритми Арифметика / Теорія чисел адитивна алгебрична аналітична Геометрія дискретна алгебрична біраціональна диференціальна синтетична скінченна Диференціальні рівняння / Динамічні системи Комбінаторика адитивна алгебрична арифметична геометрична многогранників нумераційна топологічна Математика та мистецтво Математична логіка Математична статистика Математична фізика Обчислення / Аналіз Оптимізація Опуклий аналіз Рекреаційна математика Статистика Теорія графів алгебрична екстремальна спектральна Теорія ігор Теорія інформації Теорія ймовірності Теорія категорій Теорія керування Теорія Лі Теорія множин Теорія порядку Теорія представлень Топологія загальна алгебрична диференціальна Тригонометрія Функціональний аналіз Чисельний аналіз Підрозділи Чиста Прикладна Дискретна Обчислювальна Експериментальна   Категорія   Портал