Метод Гауса - Зайделя [1][2]є класичним ітераційним методом розв'язку системи лінійних рівнянь.
Візьмемо систему: , де
Або
І покажемо, як її можна розв'язати за допомогою методу Гауса - Зайделя.
Щоб пояснити зміст методу, перепишемо задачу у вигляді:
Тут в -му рівнянні ми перенесли в праву частину всі члени, що містять , для . Отримана система може бути представлена:
де в прийнятих позначеннях D означає матрицю, у якої на головній діагоналі стоять відповідні елементи матриці A, а всі інші - нулі; тоді як матриці U та L містять верхню і нижню трикутні частини A, на головній діагоналі яких нулі.
Ітеративний процес в методі Гауса-Зайделя будується за формулою після вибору відповідного початкового наближення .
Метод Гауса-Зайделя можна розглядати як модифікацію методу Якобі. Основна ідея модифікації полягає в тому, що нові значення використовуються тут одразу ж у міру отримання, в той час як у методі Якобі вони не використовуються до наступної ітерації:
де
Таким чином i-тий компонент -го наближення обчислюється за формулою:
Наведемо достатню умову збіжності методу.
Умова завершення ітераційного процесу Гауса-Зайделя при досягненні точності у спрощеній формі має вигляд:
Точніша умова завершення ітераційного процесу має вигляд
і потребує більше обчислень. Добре підходить для розріджених матриць.
Приклад алгоритму на С++[ред. | ред. код]
// Умова завершення bool converge(double *xk, double* xkp) { bool b = true; for (int i = 0; i < n; i++) { if (fabs(xk[i]-xkp[i]) > eps) { b = false; break; } } return b; } while(!converge(x,p)) { for(int i = 0; i < n; i++) { var = 0; for(int j = 0; j < n; j++) { if(j != i) var += (a[i][j]*x[j]); } p[i] = x[i]; x[i]=(b[i] - var)/a[i][i]; } }
- ↑ МЕТОД ГАУСА-ЗЕЙДЕЛЯ: ПОЯСНЕННЯ, ДОДАТКИ, ПРИКЛАДИ - НАУКА. warbletoncouncil (укр.). Процитовано 11 лютого 2021.
- ↑ Філіп Людвіг Зейдель (1821—1896) — німецький астроном та математик, Карл Фрідріх Гаус (1777—1855) — німецький математик, астроном та фізик