Лінійні відрізки AB і CD є ортогональними один до одного. Ортогональність (від грец. ὀρθός — прямий і грец. γωνία — кут) — термін, яким позначають перпендикулярність векторів .
Нехай R {\displaystyle R} — прегільбертів простір . Елементи x ∈ R {\displaystyle x\in R} , y ∈ R {\displaystyle y\in R} називаються ортогональними , якщо їх скалярний добуток дорівнює 0, тобто ⟨ x , y ⟩ = 0 {\displaystyle \langle x,y\rangle =0} ; що позначається x ⊥ y {\displaystyle x\perp y} .[1]
Множина векторів називається ортогональною, якщо довільна пара з цієї множини ортогональна. Якщо всі вектори цієї множини одиничні , то вона називається множиною ортнормованих векторів. Не-нульові ортогональні вектори лінійно незалежні .[2]
Якщо для системи векторів x 1 , x 2 , … , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}} простору R {\displaystyle R} визначник Грамма дорівнює 0, то ці вектори лінійно залежні.
В Евклідовому просторі [ ред. | ред. код ] В 2- або 3- вимірному Евклідовому просторі два вектори ортогональні, якщо скалярний добуток цих векторів дорівнює нулю, тобто кут між ними 90° або π/2 радіан . Таким чином, ортогональність векторів є узагальненням перпендикулярності.
В Евклідових підпросторах ортогональним доповненням прямої є площина, і навпаки.
Ортогональні функції [ ред. | ред. код ] Дві дійсні функції f ( x ) {\displaystyle f(x)} та g ( x ) {\displaystyle g(x)} є ортогональними одна щодо одної у інтервалі a ≤ x ≤ b , {\displaystyle a\leq x\leq b,} якщо
∫ a b f ( x ) g ( x ) d x = 0. {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)dx=0.}
Аналогією до поняття ортогональності є векторна теорія, де (у трьохвимірному випадку) два вектори A , B {\displaystyle A,B} є ортогональними, коли
A ⋅ B = A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3 = 0. {\displaystyle A\cdot B=A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3}=0.}
У n {\displaystyle n} -вимірному просторі вектори ортогональні, якщо ∑ i = 1 n A i B i = 0. {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}A_{i}B_{i}=0.} У ∞ {\displaystyle \infty } -вимірному просторі, у якому A i , B i {\displaystyle A_{i},B_{i}} мають неперервний розподіл, i {\displaystyle i} є неперервною змінною f ( x ) , {\displaystyle f(x),} таким чином ∑ i = 1 n A i B i {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}A_{i}B_{i}} переходить у ∫ A ( x ) B ( x ) d x . {\displaystyle \int A(x)B(x)dx.} Поняття функції переводиться таким чином у поняття вектора у ∞ {\displaystyle \infty } -вимірному просторі. Інтеграл
∫ a b f ( x ) g ( x ) d x = f ⋅ g {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)dx=f\cdot g}
визначає скалярний добуток у функціональному просторі. У такому просторі скалярний (внутрішній) добуток визначається так само, як й у скінченних векторних просторах, відповідно, таким самим чином можна визначити ортогональність.
Якщо дана похідна, неперервна на відрізку ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} , функції f ( x ) {\displaystyle f(x)} і необхідно розкласти її по набору лінійно незалежних функцій f i ( x ) , {\displaystyle f_{i}(x),} для якої існує ∫ a b | f i ( x ) | 2 d x , {\displaystyle \int _{a}^{b}|f_{i}(x)|^{2}dx,} то можна усереднено апроксимувати її лінійною сукупністю ∑ i = 1 n c i f i ( x ) . {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c_{i}f_{i}(x).} Коефіцієнти підібрати важко, якщо набір є ортонормованим. У процесі ортогоналізації функції f 1 ( x ) , f 2 , . . . , f n ( x ) , . . . {\displaystyle f_{1}(x),f_{2},...,f_{n}(x),...} замінюється таким самим числом числом нових функцій φ 1 ( x ) , φ 2 , . . . , φ n ( x ) , . . . , {\displaystyle \varphi _{1}(x),\varphi _{2},...,\varphi _{n}(x),...,} які є лінійними комбінаціями попередніх функцій, тобто
φ n ( x ) = c 1 ( n ) f 1 ( x ) + c 2 ( n ) f 2 ( x ) + . . . + c n ( n ) f n ( x ) . {\displaystyle \varphi _{n}(x)=c_{1}^{(n)}f_{1}(x)+c_{2}^{(n)}f_{2}(x)+...+c_{n}^{(n)}f_{n}(x).}
Такий алгоритм має назву процесу Грама — Шмідта .
На контурах також можна застосовувати ортогоналізацію. В такому випадку ∫ a b {\displaystyle \int _{a}^{b}} замінюється на ∫ C . {\displaystyle \int _{C}.} Функція φ 1 ( x ) {\displaystyle \varphi _{1}(x)} має вигляд a f 1 ( x ) , {\displaystyle af_{1}(x),} де a {\displaystyle a} отримується з умови ∫ a b φ 1 2 d x = 1. {\displaystyle \int _{a}^{b}\varphi _{1}^{2}dx=1.} Маємо
φ 1 ( x ) = f 1 ( x ) / [ ∫ a b | f 1 ( x ) | 2 d x ] 1 / 2 . {\displaystyle \varphi _{1}(x)=f_{1}(x)/[\int _{a}^{b}|f_{1}(x)|^{2}dx]^{1/2}.}
Таким чином, знаходячи перші n {\displaystyle n} функцій φ 1 ( x ) , φ 2 , . . . , φ n ( x ) , {\displaystyle \varphi _{1}(x),\varphi _{2},...,\varphi _{n}(x),} приходимо до функції φ n + 1 ( x ) , {\displaystyle \varphi _{n+1}(x),} яка повинна бути лінійною комбінацією цих функцій, а також функції f n + 1 ( x ) . {\displaystyle f_{n+1}(x).} Відповідно,
φ n + 1 ( x ) = a 1 φ 1 ( x ) + a 2 φ 2 ( x ) + . . . + a n φ n ( x ) + f n + i ( x ) {\displaystyle \varphi _{n+1}(x)=a_{1}\varphi _{1}(x)+a_{2}\varphi _{2}(x)+...+a_{n}\varphi _{n}(x)+f_{n+i}(x)} - цей вираз можна помножити на φ i ( x ) {\displaystyle \varphi _{i}(x)} й проінтегрувати отриманий вираз
a i + a ∫ a b f n + 1 ( x ) φ i ( x ) d x = 0. {\displaystyle a_{i}+a\int _{a}^{b}f_{n+1}(x)\varphi _{i}(x)dx=0.}
Умова ∫ a b φ 1 2 d x = 1 {\displaystyle \int _{a}^{b}\varphi _{1}^{2}dx=1} дає a . {\displaystyle a.} Щоб послідовно обчислити φ 1 ( x ) , φ 2 , . . . , φ n ( x ) , {\displaystyle \varphi _{1}(x),\varphi _{2},...,\varphi _{n}(x),} можна застосувати рівняння
φ n + 1 ( x ) = f n + 1 ( x ) ∑ i = 1 n [ ∫ a b f n + 1 φ i d x ] φ i ( x ) { ∫ a b [ f n + 1 ( x ) − ∑ i = 1 n ( ∫ a b f n + 1 φ i d x ) φ i ( x ) ] 2 d x } 1 / 2 . {\displaystyle \varphi _{n+1}(x)={\frac {f_{n+1}(x)\sum _{i=1}^{n}[\int _{a}^{b}f_{n+1}\varphi _{i}dx]\varphi _{i}(x)}{\{\int _{a}^{b}[f_{n+1}(x)-\sum _{i=1}^{n}(\int _{a}^{b}f_{n+1}\varphi _{i}\,dx)\varphi _{i}(x)]^{2}dx\}^{1/2}}}.}
Або через визначники можна записати
φ n ( x ) = | ( f 1 ⋅ f 1 ) ( f 1 ⋅ f 2 ) . . . ( f 1 ⋅ f n − 1 ) f 1 ( x ) ( f 2 ⋅ f 1 ) ( f 2 ⋅ f 1 ) . . . ( f 2 ⋅ f n − 1 ) f 2 ( x ) . . . . . . . . . . . . . . . ( f n ⋅ f 1 ) ( f n ⋅ f 2 ) . . . ( f n ⋅ f n − 1 ) f n ( x ) | ( Δ n − 1 ⋅ Δ n ) 1 / 2 , {\displaystyle \varphi _{n}(x)={\frac {\begin{vmatrix}(f_{1}\cdot f_{1})&(f_{1}\cdot f_{2})&...&(f_{1}\cdot f_{n-1})&f_{1}(x)\\(f_{2}\cdot f_{1})&(f_{2}\cdot f_{1})&...&(f_{2}\cdot f_{n-1})&f_{2}(x)\\...&...&...&...&...\\(f_{n}\cdot f_{1})&(f_{n}\cdot f_{2})&...&(f_{n}\cdot f_{n-1})&f_{n}(x)\end{vmatrix}}{(\Delta _{n-1}\cdot \Delta _{n})^{1/2}}},}
де Δ n {\displaystyle \Delta _{n}} - Визначник Грама для функції f 1 , f 2 , . . . , f n {\displaystyle f_{1},f_{2},...,f_{n}}
Δ n = | ( f 1 ⋅ f 1 ) ( f 1 ⋅ f 2 ) . . . ( f 1 ⋅ f n ) ( f 2 ⋅ f 1 ) ( f 2 ⋅ f 1 ) . . . ( f 2 ⋅ f n ) . . . . . . . . . . . . ( f n ⋅ f 1 ) ( f n ⋅ f 2 ) . . . ( f n ⋅ f n ) | . {\displaystyle \Delta _{n}={\begin{vmatrix}(f_{1}\cdot f_{1})&(f_{1}\cdot f_{2})&...&(f_{1}\cdot f_{n})\\(f_{2}\cdot f_{1})&(f_{2}\cdot f_{1})&...&(f_{2}\cdot f_{n})\\...&...&...&...\\(f_{n}\cdot f_{1})&(f_{n}\cdot f_{2})&...&(f_{n}\cdot f_{n})\end{vmatrix}}.}
Функції f 1 ( x ) , f 2 ( x ) , . . . , f n ( x ) {\displaystyle f_{1}(x),f_{2}(x),...,f_{n}(x)} є лінійно незалежними, якщо визначник дорівнює нулю.