五角化六十面體

五角化六十面體
五角化六十面體
(按這裡觀看旋轉模型)
類別卡塔蘭立體
六十面體
對偶多面體扭棱十二面體
識別
名稱五角化六十面體
鮑爾斯縮寫
verse-and-dimensions的wikiaBowers acronym
sapedit
數學表示法
考克斯特符號
英语Coxeter-Dynkin diagram
CDel node fh.pngCDel 5.pngCDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.png
康威表示法gD
性質
60
150
頂點92
歐拉特徵數F=60, E=150, V=92 (χ=2)
二面角153° 10′ 43′′
組成與佈局
面的種類
DU29 facets.png

不等邊五邊形
面的佈局
英语Face configuration
V3.3.3.3.5
V34.5[1]:97
頂點的種類80個3階頂點
12個5階頂點[1]:97
對稱性
對稱群Ih, 1/2H3, [5,3]+, (532)
旋轉對稱群
英語Rotation_groups
I, [5,3]+, (532)
圖像
立體圖
Snub dodecahedron ccw.png
扭棱十二面體
(對偶多面體)
Pentagonalhexecontahedron net.png
(展開圖)

幾何學中,五角化六十面體是一種卡塔蘭立體[2],為由60個不等邊五邊形組成的六十面體,並且是阿基米德立體扭棱十二面體的對偶多面體。[3][4]這種立體是一個等面圖形,也就是說它每個面都全等,但組成面不是正多邊形。五角化六十面體有兩種不同的形式,它們互為鏡像(或“對映體”),是為手性鏡像,兩種手性鏡像的頂點數皆相同,共有6015092頂點。五角化六十面體是頂點數最多的卡塔蘭立體。在卡塔蘭立體阿基米德立體中,五角化六十面體的頂點數為第二多,僅次於具有120個頂點的大斜方截半二十面体

性質[编辑]

五角化六十面體是一個手性多面體英语Chirality (mathematics)[2],也就是說,該多面體鏡射之後會跟原本的型形狀不同,無法藉由旋轉半周再回到原本的形狀[5][6][7]。這兩種形式互為鏡像(或“對映體”),又稱為手性鏡像,且其頂點數皆相同,共有60個、150個、92個頂點[8][6][7]。在其92個頂點中,有80個頂點是三階頂點,即3個五邊形的公共頂點和12個頂點是五階頂點,即5個五邊形的公共頂點。[1]:97

Pentagonalhexecontahedronccw.gif
五角化六十面體的旋轉透視圖
Pentagonalhexecontahedroncw.gif
五角化六十面體的另一個手性鏡像的旋轉透視圖

構造[编辑]

五角化六十面體是扭棱十二面体的對偶多面體。事實上,五角化六十面體可以不經由對偶變換而從扭棱十二面体構造。首先在扭棱十二面体的所有12個五邊形面上加入五角錐,再將扭棱十二面体的所有不與五邊形面相鄰的20個三角形面上加入三角錐,並調整加入之錐體的錐高,使加入的錐體之側面與其餘60個三角形面共面則形成五角化六十面體,然而這種方式構造的五角化六十面體會稍微有點形變。[9]

二面角[编辑]

五角化六十面體只有一種二面角,約為153.18度:[6][7]

2.67347322717678153.178732558°

其中為黃金比例、[6][7]

面的組成[编辑]

五角化六十面體60個全等的五邊形面組成,每個五邊形都具有3條短邊和2條長邊,若令,則短邊與長邊的比為:[6][7]

0.582899534744982414 : 1.019988247022845898

其中為黃金比例。

DU29 facets.png

若令為多項式,則長邊與短邊的比值為:

.

也就是說,若短邊為單位長,則長邊的長度約為1.74985單位長。

組成五角化六十面體的五邊形有4個相等的鈍角和一個銳角(兩個長邊的夾角)。其中鈍角的角度為,約118度8分[1]:97,而反餘弦內的值是多項式的第一個實根[2];銳角的角度為,約67度28分[1]:97,而反餘弦內的值是多項式的第4個根[2]

幾何[编辑]

扭棱十二面體的面心不能直接作為五角化六十面體的頂點,因為4個三角形的面心位於同一個平面上,但五邊形的面心則否,它需要被徑向推出以使其與三角形中心共面。因此,五角化六十面體的頂點並不都位於同一個球面上,因此根據定義,五角化六十面體不是一個環帶多面體

若其對偶多面體的邊長為單位長,則對應的五角化六十面體八十個三階頂點所在的球面之半徑為:[6][7]

2.1172098986

十二個五階頂點所在的球面之半徑為:[6][7]

2.220000699

體積與表面積[编辑]

若要計算五角化六十面體的體積和表面積,則需要將其中一個五邊形面的短邊表示為,並令常數為:[10]

.

則短邊長為的五角化六十面體表面積(A)為:

.

體積(V)為:

.

使用以上這些數值,可以計算此形狀的球形度英语sphericity量值:

用途[编辑]

五角化六十面體的骰子

由於五角化六十面體是一個等面多面體,因此可以製成骰子。[11]

參見[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X. 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 Weisstein, Eric W. (编). Pentagonal Hexecontahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
  3. ^ Alan Holden. Shapes, Space, and Symmetry. New York: Columbia University Press. 1971. 
  4. ^ Conway, J.H. and Burgiel, H. and Goodman-Strauss, C. The Symmetries of Things. AK Peters/CRC Recreational Mathematics Series. CRC Press. 2016. ISBN 9781439864890. LCCN 2007046446.  (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, page 287, pentagonal icosikaitetrahedron)
  5. ^ Coxeter, H. S. M., Kaleidoscopes: Selected Writings, John Wiley and Sons: 282, 1995, ISBN 9780471010036 .
  6. ^ 6.0 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 David I. McCooey. Catalan Solids: Pentagonal Hexecontahedron (dextro). 
  7. ^ 7.0 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 David I. McCooey. Catalan Solids: Pentagonal Hexecontahedron (laevo). 
  8. ^ Pentagonal Hexecontahedron. polyhedra.org. [2008-09-24]. (原始内容存档于2008-07-14). 
  9. ^ Livio Zefiro and Maria Rosa Ardigo. Description of the Forms Belonging to the 235 and m35 Icosahedral Point Groups Starting from the Pairs of Dual Polyhedra: Icosahedron-Dodecahedron and Archimedean Polyhedra-Catalan Polyhedra. 
  10. ^ Pentagonal Hexecontahedron - Geometry Calculator. rechneronline.de. [2020-05-26]. 
  11. ^ Fair Dice. mathpuzzle.com. 

外部連結[编辑]