勾股数,又名商高數或毕氏数(Pythagorean triple),是由三个正整数组成的数组;能符合勾股定理(毕式定理)「
」之中,
的正整数解。而且,基于勾股定理的逆定理,任何边长是勾股数组的三角形都是直角三角形。
如果
是勾股数,它们的正整数倍数,也是勾股数,即
也是勾股数。若果
三者互质(它们的最大公因数是 1),它们就称为素勾股数或本原勾股數組。
以下的方法可用来找出素勾股数。设
、
和
均是正整数,



若
和
是互质,而且
和
為一奇一偶,计算出来的
就是素勾股数。(若
和
都是奇数,
就会全是偶数,不符合互质。)
所有素勾股数可用上述列式当中找出,这亦可推论到数学上存在无穷多的素勾股数。
以下是小于 100 的素勾股数:
 |  | |
3 | 4 | 5 |
5 | 12 | 13 |
7 | 24 | 25 |
8 | 15 | 17 |
9 | 40 | 41 |
11 | 60 | 61 |
12 | 35 | 37 |
13 | 84 | 85 |
16 | 63 | 65 |
20 | 21 | 29 |
28 | 45 | 53 |
33 | 56 | 65 |
36 | 77 | 85 |
39 | 80 | 89 |
48 | 55 | 73 |
65 | 72 | 97 |
有些勾股数组可以有同一个最小的勾股数。第一个例子是 20 ,它在以下两组勾股数之中出现:
与
。
其中最先例子是5,它在以下兩組勾股數之中出現
及
。
在 15,386 组素勾股数的 1229779565176982820 ,它的最小与最大的勾股数组是:



与



试考虑它的质因数分解

它质因数的个数涉及不少素勾股数。当然,数学上存在比它大的素勾股数。
對於本原勾股數組
,
,我們有
兩兩互質
其中一個是3的倍數
其中一個是4的倍數
其中一個是5的倍數
對於第二、三、四條性質的證明:
利用完全平方數
若
都不是3的倍數,則
,導致
矛盾,所以
一定有且只有一個數是3的倍數。
因為
是本原勾股數組,所以必有
一奇一偶。不妨設
為奇數,
為偶數,這時候對
兩邊同時
,則會得到
,故
,所以
一定有且只有一個數是4的倍數。
利用完全平方數
若
都不是5的倍數,則
或
或
,而
或
,矛盾,所以
一定有且只有一個數是5的倍數。
證畢。
若需要一組最小數為奇數的勾股數,可任意選取一個 3 或以上的奇數,將該數自乘為平方數,除以 2,答案加減 0.5 可得到兩個新的數字,這兩個數字連同一開始選取的奇數,三者必定形成一組勾股數[1]。但卻不一定是以這個選取數字為起首勾股數的最小可能或唯一可能,例如
並非是以 27 為起首的唯一勾股數,因為存在另一個勾股數是
,同樣也以 27 為首。
對於任何大於1的整數
,
、
與
,三個數必為畢氏數[1],例如:代入
為2,則
為5,
為3,
為4,
為一組畢氏數。
费马最后定理指出,若
,而
是大于 2 的整数,
即没有正整数解。
- ^ 1.0 1.1 宋蕙君; 陳柏揚; 謝明君. 〈哇!這是什麼 5,4,3 啊!〉 (PDF). 桃園縣立大竹國民中學. 中華民國第四十八屆中小學科學展覽會. 2008年. (原始内容 (PDF)存档于2022-10-12).