反伽瑪函數
Γ − 1 ( x ) {\displaystyle \Gamma ^{-1}(x)} 的
函數圖形 反伽瑪函數
Γ − 1 ( x ) {\displaystyle \Gamma ^{-1}(x)} 在
複數域 的
色相環複變函數圖形 反伽瑪函數 Γ − 1 ( x ) {\displaystyle \Gamma ^{-1}(x)} (反Γ函數,Inverse gamma function)是伽瑪函數 (Γ函數)的反函數 。 換句話說,如果反Γ函數以 Γ − 1 ( x ) = y {\textstyle \Gamma ^{-1}(x)=y} 的形式表示,則其滿足 Γ ( y ) = x {\textstyle \Gamma (y)=x} 。 例如24的反伽瑪函數值 為5, Γ − 1 ( 24 ) = 5 {\displaystyle \Gamma ^{-1}(24)=5} ,因為5代到伽瑪函數為24[ 1] 。 一般而言,反伽瑪函數是指定義域 在實數 區間 [ β , + ∞ ) {\displaystyle \left[\beta ,+\infty \right)} 上且圖形在實數區間 [ α , + ∞ ) {\displaystyle \left[\alpha ,+\infty \right)} 上的主分支,其中 β = 0.8856031 … {\displaystyle \beta =0.8856031\ldots } [ 2] 是伽瑪函數在正實軸 上的最小值、 α = Γ − 1 ( β ) = 1.4616321 … {\displaystyle \alpha =\Gamma ^{-1}(\beta )=1.4616321\ldots } [ 3] 是能使 Γ ( x ) {\displaystyle \Gamma (x)} 最小的 x {\displaystyle x} 值[ 4] 。 反伽瑪函數可以透過伽瑪函數和階乘 的關係來定義反階乘 ,即階乘的反函數。
限制在 [ α , + ∞ ) {\displaystyle \left[\alpha ,+\infty \right)} 區間的反伽瑪函數稱為伽瑪函數的主逆函數(principal inverse function),可以表示為 Γ − 1 ( x ) {\displaystyle \Gamma ^{-1}(x)} 。 在不同分支上的伽瑪函數也可以定義出反伽瑪函數,在第n個分支上的反伽瑪函數可以表示為 Γ n − 1 ( z ) {\displaystyle \Gamma _{n}^{-1}(z)} 。
直接將伽瑪函數取反函數將成為多值函數 ,因此通常會將反伽瑪函數限制在特定區間上的反函數 由於反伽瑪函數是伽瑪函數的反函數 ,因此最簡單的情況下可以表示為:
Γ ( Γ − 1 ( x ) ) = x {\displaystyle \Gamma (\Gamma ^{-1}(x))=x} 更進一步的,反伽瑪函數可以用如下積分 表達式來定義:[ 5]
Γ − 1 ( x ) = a + b x + ∫ − ∞ Γ ( α ) ( 1 x − t − t t 2 − 1 ) d μ ( t ) {\displaystyle \Gamma ^{-1}(x)=a+bx+\int _{-\infty }^{\Gamma (\alpha )}\left({\frac {1}{x-t}}-{\frac {t}{t^{2}-1}}\right)d\mu (t)} 其中 ∫ − ∞ Γ ( α ) ( 1 t 2 + 1 ) d μ ( t ) < ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\Gamma \left(\alpha \right)}\left({\frac {1}{t^{2}+1}}\right)d\mu (t)<\infty } 、a和b為滿足 b ≧ 0 {\displaystyle b\geqq 0} 的實數 、 μ ( t ) {\displaystyle \mu (t)} 為博雷尔测度 。
不同分支的反伽瑪函數 反伽瑪函數的分支可以透過先計算 Γ − 1 ( x ) {\displaystyle \Gamma ^{-1}(x)} 在分支點 α {\displaystyle \alpha } 附近的泰勒級數 ,接著截斷級數並求其反函數來得到更好的近似值。 例如,可以寫出關於反伽瑪函數的二次近似[ 6] ;
Γ − 1 ( x ) ≈ α + 2 ( x − Γ ( α ) ) Ψ ( 1 , α ) Γ ( α ) . {\displaystyle \Gamma ^{-1}\left(x\right)\approx \alpha +{\sqrt {\frac {2\left(x-\Gamma \left(\alpha \right)\right)}{\Psi \left(1,\ \alpha \right)\Gamma \left(\alpha \right)}}}.} 反伽瑪函數也有如下的渐近分析 形式:[ 7]
Γ − 1 ( x ) ∼ 1 2 + ln ( x 2 π ) W 0 ( e − 1 ln ( x 2 π ) ) {\displaystyle \Gamma ^{-1}(x)\sim {\frac {1}{2}}+{\frac {\ln \left({\frac {x}{\sqrt {2\pi }}}\right)}{W_{0}\left(e^{-1}\ln \left({\frac {x}{\sqrt {2\pi }}}\right)\right)}}} 其中 W 0 ( x ) {\displaystyle W_{0}(x)} 是朗伯W函数 。這個公式是利用史特靈公式 求逆得到的,因此也可以展開為漸近級數。
要計算反伽瑪函數的級數展開可以先計算倒數伽瑪函數 1 Γ ( x ) {\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (x)}}} 在負整數極點附近的級數展開,然後再求級數的逆。
令 z = 1 x {\displaystyle z={\frac {1}{x}}} 可以得到第 n {\displaystyle n} 個分支的反伽瑪函數 Γ n − 1 ( z ) {\displaystyle \Gamma _{n}^{-1}(z)} ,其中 n ≥ 0 {\displaystyle n\geq 0} 。[ 8]
Γ n − 1 ( z ) = − n + ( − 1 ) n n ! z + ψ ( 0 ) ( n + 1 ) ( n ! z ) 2 + ( − 1 ) n ( π 2 + 9 ψ ( 0 ) ( n + 1 ) 2 − 3 ψ ( 1 ) ( n + 1 ) ) 6 ( n ! z ) 3 + O ( 1 z 4 ) {\displaystyle \Gamma _{n}^{-1}(z)=-n+{\frac {\left(-1\right)^{n}}{n!z}}+{\frac {\psi ^{(0)}\left(n+1\right)}{\left(n!z\right)^{2}}}+{\frac {\left(-1\right)^{n}\left(\pi ^{2}+9\psi ^{(0)}\left(n+1\right)^{2}-3\psi ^{(1)}\left(n+1\right)\right)}{6\left(n!z\right)^{3}}}+O\left({\frac {1}{z^{4}}}\right)} 其中, ψ ( n ) ( x ) {\displaystyle \psi ^{(n)}(x)} 是多伽玛函数 。
反階乘的複變函數圖形 反階乘是階乘 的反函數 ,有時記為Factorial-1 或ArcFactorial[ 9] ,其函數值 可以透過反伽瑪函數 或解伽瑪函數方程來得到[ 10] 。 例如120的反階乘為5,因為 5 ! = 120 {\displaystyle 5!=120} 。 目前反階乘的數學表達方式學界尚無共識。[ 註 1]
反伽瑪函數與反階乘的關係為:
Γ − 1 ( n ) = A r c F a c t o r i a l ( z ) + 1 {\displaystyle \Gamma ^{-1}(n)=\mathrm {ArcFactorial} (z)+1} 這是由於:
z ! = Γ ( z + 1 ) {\displaystyle z!=\Gamma (z+1)} 反階乘可以定義為:
( A r c F a c t o r i a l ( z ) ) ! = z {\displaystyle (\mathrm {ArcFactorial} (z))!=z} 條件是 A r c F a c t o r i a l ( z ) {\displaystyle \mathrm {ArcFactorial} (z)} 在復平面上是全純的,並且沿著實軸的一部分進行切割,從正參數階乘的最小值開始,延伸到 − ∞ {\displaystyle -\infty } 。
在分支點 z = μ 0 {\displaystyle z=\mu _{0}} 附近的反階乘可以展開為;
A r c F a c t o r i a l ( z ) = ν 0 + ∑ n = 1 N − 1 d n ⋅ ( log ( z / μ 0 ) ) n / 2 {\displaystyle \mathrm {ArcFactorial} (z)=\nu _{0}+\sum _{n=1}^{N-1}d_{n}\cdot {\Big (}\log(z/\mu _{0}){\Big )}^{n/2}} 由於階乘與伽瑪函數之間的關聯,反階乘也可以透過反伽瑪函數近似公式來估計:
A r c F a c t o r i a l ( z ) ≈ − 1 + α + 2 ( x − Γ ( α ) ) Ψ ( 1 , α ) Γ ( α ) . {\displaystyle \mathrm {ArcFactorial} \left(z\right)\approx -1+\alpha +{\sqrt {\frac {2\left(x-\Gamma \left(\alpha \right)\right)}{\Psi \left(1,\ \alpha \right)\Gamma \left(\alpha \right)}}}.} 因此,反階乘也可以寫成如下的渐近分析 形式:[ 7]
A r c F a c t o r i a l ( x ) ∼ ln ( x 2 π ) W 0 ( e − 1 ln ( x 2 π ) ) − 1 2 {\displaystyle \mathrm {ArcFactorial} \left(x\right)\sim {\frac {\ln \left({\frac {x}{\sqrt {2\pi }}}\right)}{W_{0}\left(e^{-1}\ln \left({\frac {x}{\sqrt {2\pi }}}\right)\right)}}-{\frac {1}{2}}} 其中 W 0 ( x ) {\displaystyle W_{0}(x)} 是朗伯W函数 。
^ Borwein, Jonathan M.; Corless, Robert M. Gamma and Factorial in the Monthly. The American Mathematical Monthly. 2017, 125 (5): 400–424. JSTOR 48663320 . S2CID 119324101 . arXiv:1703.05349 . doi:10.1080/00029890.2018.1420983 . ^ A030171 ^ A030169 ^ Uchiyama, Mitsuru. The principal inverse of the gamma function . Proceedings of the American Mathematical Society. April 2012, 140 (4): 1347 [20 March 2023] . JSTOR 41505586 . S2CID 85549521 . doi:10.1090/S0002-9939-2011-11023-2 . (原始内容存档 于2023-03-20). ^ Pedersen, Henrik. " Inverses of gamma functions" . Constructive Approximation. 9 September 2013, 7 (2): 251–267 [2023-08-21 ] . S2CID 253898042 . arXiv:1309.2167 . doi:10.1007/s00365-014-9239-1 . (原始内容存档 于2023-05-24). ^ Corless, Robert M.; Amenyou, Folitse Komla; Jeffrey, David. Properties and Computation of the Functional Inverse of Gamma. 2017 19th International Symposium on Symbolic and Numeric Algorithms for Scientific Computing (SYNASC). 2017: 65. ISBN 978-1-5386-2626-9 . S2CID 53287687 . doi:10.1109/SYNASC.2017.00020 . ^ 7.0 7.1 Amenyou, Folitse Komla; Jeffrey, David. "Properties and Computation of the inverse of the Gamma Function" (学位论文): 28. 2018 [2023-08-23 ] . (原始内容存档 于2022-05-09). ^ Couto, Ana Carolina Camargos; Jeffrey, David; Corless, Robert. The Inverse Gamma Function and its Numerical Evaluation . Maple Conference Proceedings. November 2020. Section 8 [2023-08-23 ] . (原始内容存档 于2023-05-16). ^ Kouznetsov, Dmitrii and Trappmann, Henryk. Superfunctions and sqrt of factorial. Moscow University Physics Bulletin. 2010-03, 65 : 6–12. doi:10.3103/S0027134910010029 . ^ InverseFactorial . resources.wolframcloud.com. [2023-08-21 ] . (原始内容存档 于2023-08-21).