里布叶状结构 的2维截面 里布叶状结构的3维模型 微分几何 中,叶状结构 (foliation )是n -流形 上的等价关系 ,等价类 是连通单射 浸入子流形 ,都具有相同维度p ,以实坐标空间 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 的分解 为标准嵌入 子空间 R p {\displaystyle \mathbb {R} ^{p}} 的陪集 x + R p {\displaystyle x+\mathbb {R} ^{p}} 为模型。等价类称作叶状结构的叶 (leaf)。[ 1] 若要求流形和/或子流形具有( C r {\displaystyle C^{r}} 类的)分段线性 、微分 或解析 结构,就可分别定义分段线性、微分、解析叶状结构。在最重要的 C r {\displaystyle C^{r}} 类微分叶状结构中,通常r ≥ 1(否则 C 0 {\displaystyle C^{0}} 就是拓扑叶状结构)。[ 2] p (叶的维度)称作叶状结构的维度, q = n − p {\displaystyle q=n-p} 称作其余维数 。
在数学物理学家关于广义相对论 的一些论文中,“叶状结构”用于描述:相关的洛伦兹流形 ((p +1)维时空 )分解为p 维超平面 ,指定为梯度 处处不为零的实值光滑函数 (标量场 )的水平集;这光滑函数通常被假定为时间函数 ,梯度处处类时间 ,因此其水平集都是类空间超平面。为与标准数学术语保持一致,这些超平面通常称作叶状结构的叶。[ 3] 注意,虽然这情形确实构成标准数学意义上的余维-1叶状结构,但这类例子是全局平凡的。虽然(数学)余维-1叶状结构的叶局部 上总是函数的水平集,但一般不能在全局这样表达,[ 4] [ 5] 因为叶可能无限多次通过局部平凡化坐标图,叶周围的完整 也可能阻碍叶的全局一致定义函数的存在。例如,虽然3-球面 有一个由里布发现的余维1-叶状结构,但闭流形的余维-1叶状结构不能由光滑函数的水平集给出,因为闭流形上的光滑函数必然在最值点有临界点。
叶状结构好比是一种给流形 穿的条纹织物的衣服。在流形的每个足够小的片上,这些条纹给了流形一个局部乘积结构,不需在局部区域之外一致(不用有良定义 的整体结构):沿着一个条纹走足够远,可能回到不同的邻近的条纹。
为给叶状结构下精确定义,需先定义一些辅助元素。
3维叶状图(foliated chart),n = 3、q = 1。斑(plaque)是2维的,横截(transversal)是1维的。 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 中的矩邻域 是形式为 B = J 1 × ⋯ × J n {\displaystyle B=J_{1}\times \cdots \times J_{n}} 的开 子集 ,其中 J i {\displaystyle J_{i}} 是第i 个坐标轴上(可能无界)的相对开区间。若 J 1 {\displaystyle J_{1}} 具有形式 ( a , 0 ] {\displaystyle (a,\ 0]} ,则称B 具有边界 [ 6]
∂ B = { ( 0 , x 2 , … , x n ) ∈ B } . {\displaystyle \partial B=\left\{\left(0,x^{2},\ldots ,x^{n}\right)\in B\right\}.} 在下面的定义中,坐标图(coordinate chart)被认为是在 R p × R q {\displaystyle \mathbb {R} ^{p}\times \mathbb {R} ^{q}} ,允许流形具有边界和(凸 )角的可能。
n -流形M 上余维为q 的叶状图(foliated chart)是 ( U , φ ) {\displaystyle (U,\ \varphi )} ,其中 U ⊂ M {\displaystyle U\subset M} 是开集, φ : U → B τ × B ⋔ {\displaystyle \varphi :U\to B_{\tau }\times B_{\pitchfork }} 是微分同胚 , B ⋔ {\displaystyle B_{\pitchfork }} 是 R q {\displaystyle \mathbb {R} ^{q}} 中的矩邻域, B τ {\displaystyle B_{\tau }} 是 R p {\displaystyle \mathbb {R} ^{p}} 中的矩邻域。集合 P y = φ − 1 ( B τ × { y } ) {\displaystyle P_{y}=\varphi ^{-1}(B_{\tau }\times \{y\})} ,其中 y ∈ B ⋔ {\displaystyle y\in B_{\pitchfork }} 称作这叶状图的斑(plaque)。 ∀ x ∈ B τ {\displaystyle \forall x\in B_{\tau }} ,集合 S x = φ x = φ − 1 ( { x } × B ⋔ ) {\displaystyle S_{x}=\varphi _{x}=\varphi ^{-1}(\{x\}\times B_{\pitchfork })} 称作叶状图的横截 (transversal)。集合 ∂ τ U = φ − 1 ( B τ × ( ∂ B ⋔ ) ) {\displaystyle \partial _{\tau }U=\varphi ^{-1}(B_{\tau }\times (\partial B_{\pitchfork }))} 称作U 的切边界(tangential boundary), ∂ ⋔ U = φ − 1 ( ( ∂ B τ ) × B ⋔ ) {\displaystyle \partial _{\pitchfork }U=\varphi ^{-1}((\partial B_{\tau })\times B_{\pitchfork })} 称作U 的横截边界(transverse boundary)。[ 7]
叶状图是所有叶状结构的基本模型,斑就是叶。 B τ {\displaystyle B_{\tau }} 表示“B -切”, B ⋔ {\displaystyle B_{\pitchfork }} 表示“B -截”。还有多种可能。若 B ⋔ , B τ {\displaystyle B_{\pitchfork },\ B_{\tau }} 都有空边界,则叶状图就建模了无界n -流形的余维-q 叶状结构。若其中一个矩邻域有界,则叶状图建模了有界无角n -流形的叶状结构的各种可能性。具体来说,若 ∂ B ⋔ ≠ ∅ = ∂ B τ {\displaystyle \partial B_{\pitchfork }\neq \varnothing =\partial B_{\tau }} ,则 ∂ U = ∂ τ U {\displaystyle \partial U=\partial _{\tau }U} 是斑之并,斑表示的叶状结构切于边界。若 ∂ B τ ≠ ∅ = ∂ B ⋔ {\displaystyle \partial B_{\tau }\neq \varnothing =\partial B_{\pitchfork }} ,则 ∂ U = ∂ ⋔ U {\displaystyle \partial U=\partial _{\pitchfork }U} 是横截之并,叶状结构横截于边界。最后,若 ∂ B ⋔ ≠ ∅ ≠ ∂ B τ {\displaystyle \partial B_{\pitchfork }\neq \varnothing \neq \partial B_{\tau }} ,则建模了叶状流形(foliated manifold),角分开了切边界与横截边界。[ 7]
(a ) 与边界相切的叶状结构 ∂ B ⋔ ≠ ∅ = ∂ B τ {\displaystyle \partial B_{\pitchfork }\neq \varnothing =\partial B_{\tau }} ; (b ) 与边界相截的叶状结构 ∂ B τ ≠ ∅ = ∂ B ⋔ {\displaystyle \partial B_{\tau }\neq \varnothing =\partial B_{\pitchfork }} ; (c ) 角将切边界与横截边界隔开的叶状结构 ∂ B ⋔ ≠ ∅ ≠ ∂ B τ {\displaystyle \partial B_{\pitchfork }\neq \varnothing \neq \partial B_{\tau }} 。 n -流形M 上余维为q 的 C r ( 0 ≤ r ≤ ∞ ) {\displaystyle C^{r}\ (0\leq r\leq \infty )} 类叶状图册 (foliated atlas)是余维为q 的叶状图的 C r {\displaystyle C^{r}} -图册 U = { ( U α , φ α ) ∣ α ∈ A } {\displaystyle {\mathcal {U}}=\{(U_{\alpha },\varphi _{\alpha })\mid \alpha \in A\}} ,只要P 、Q 在 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} 的不同图中都是斑,P ∩ Q 在P 、Q 中都是开的,它们就是相干叶状结构(coherently foliated)。[ 8]
重新表述相干叶状图的有效方法是将 w ∈ U α ∩ U β {\displaystyle w\in U_{\alpha }\cap U_{\beta }} 写作:[ 9]
φ α ( w ) = ( x α ( w ) , y α ( w ) ) ∈ B τ α × B ⋔ α , {\displaystyle \varphi _{\alpha }(w)=\left(x_{\alpha }(w),y_{\alpha }(w)\right)\in B_{\tau }^{\alpha }\times B_{\pitchfork }^{\alpha },} φ β ( w ) = ( x β ( w ) , y β ( w ) ) ∈ B τ β × B ⋔ β . {\displaystyle \varphi _{\beta }(w)=\left(x_{\beta }(w),y_{\beta }(w)\right)\in B_{\tau }^{\beta }\times B_{\pitchfork }^{\beta }.} ( U α , φ α ) {\displaystyle (U_{\alpha },\ \varphi _{\alpha })} 常写作 ( U α , x α , y α ) {\displaystyle (U_{\alpha },\ x_{\alpha },\ y_{\alpha })} ,其中[ 9]
x α = ( x α 1 , … , x α p ) , {\displaystyle x_{\alpha }=\left(x_{\alpha }^{1},\dots ,x_{\alpha }^{p}\right),} y α = ( y α 1 , … , y α q ) . {\displaystyle y_{\alpha }=\left(y_{\alpha }^{1},\dots ,y_{\alpha }^{q}\right).} 在 φ β ( U α ∩ U β ) {\displaystyle \varphi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })} 上,坐标公式可改写为[ 9]
g α β ( x β , y β ) = φ α ∘ φ β − 1 ( x β , y β ) = ( x α ( x β , y β ) , y α ( x β , y β ) ) . {\displaystyle g_{\alpha \beta }\left(x_{\beta },y_{\beta }\right)=\varphi _{\alpha }\circ \varphi _{\beta }^{-1}\left(x_{\beta },y_{\beta }\right)=\left(x_{\alpha }\left(x_{\beta },y_{\beta }\right),y_{\alpha }\left(x_{\beta },y_{\beta }\right)\right).} U α {\displaystyle U_{\alpha }} 的每个斑都会遇到 U β {\displaystyle U_{\beta }} 的2个斑。 ( U α , x α , y α ) , ( U β , x β , y β ) {\displaystyle (U_{\alpha },\ x_{\alpha },\ y_{\alpha }),\ (U_{\beta },\ x_{\beta },\ y_{\beta })} 是相干叶状结构这一条件意味着,若 P ⊂ U α {\displaystyle P\subset U_{\alpha }} 是斑,则 P ∩ U β {\displaystyle P\cap U_{\beta }} 的连通分量位于 U β {\displaystyle U_{\beta }} 的(可能不同的)斑中。等价地,由于 U α , U β {\displaystyle U_{\alpha },\ U_{\beta }} 的斑分别是横坐标 y α , y β {\displaystyle y_{\alpha },\ y_{\beta }} 的水平集, ∀ z ∈ U α ∩ U β {\displaystyle \forall z\in U_{\alpha }\cap U_{\beta }} 都有邻域,其中公式
y α = y α ( x β , y β ) = y α ( y β ) {\displaystyle y_{\alpha }=y_{\alpha }(x_{\beta },y_{\beta })=y_{\alpha }(y_{\beta })} 与 x β {\displaystyle x_{\beta }} 无关。[ 9]
叶状图册的主要用处是将重叠的斑连接起来,形成叶状结构;上述一般定义显得有点笨拙,一个问题是, ( U α , φ α ) {\displaystyle (U_{\alpha },\ \varphi _{\alpha })} 的斑可以与多个 ( U β , φ β ) {\displaystyle (U_{\beta },\ \varphi _{\beta })} 的斑相遇。甚至可能出现,一个图的斑与另一图的无穷多个斑相遇。不过,如下所示,假设情形更规则,也不失一般性。
若 U ∪ V {\displaystyle {\mathcal {U}}\cup {\mathcal {V}}} 是叶状 C r {\displaystyle C^{r}} 图册,则M 上两具有相同余维和光滑度的 C r {\displaystyle C^{r}} 类叶状图册 U , V {\displaystyle {\mathcal {U}},\ {\mathcal {V}}} 是相干的: ( U ≈ V ) {\displaystyle \left({\mathcal {U}}\thickapprox {\mathcal {V}}\right)} 。叶状图册的相干是等价关系。[ 9]
证明 [ 9] 自反关系 和对称关系 是直接的。要证传递关系 ,令 U ≈ V {\displaystyle {\mathcal {U}}\thickapprox {\mathcal {V}}} and V ≈ W {\displaystyle {\mathcal {V}}\thickapprox {\mathcal {W}}} 。令 ( U α , x α , y α ) ∈ U , ( W λ , x λ , y λ ) ∈ W {\displaystyle (U_{\alpha },\ x_{\alpha },\ y_{\alpha })\in {\mathcal {U}},\ (W_{\lambda },\ x_{\lambda },\ y_{\lambda })\in {\mathcal {W}}} ,并假设有点 w ∈ U α ∩ W λ {\displaystyle w\in U_{\alpha }\cap W_{\lambda }} 。择 ( V δ , x δ , y δ ) ∈ V {\displaystyle (V_{\delta },\ x_{\delta },\ y_{\delta })\in {\mathcal {V}}} ,使得 w ∈ V δ {\displaystyle w\in V_{\delta }} 。根据上述说明,w 有属于 U α ∩ V δ ∩ W λ {\displaystyle U_{\alpha }\cap V_{\delta }\cap W_{\lambda }} 的邻域,使得
y δ = y δ ( y λ ) on φ λ ( N ) , {\displaystyle y_{\delta }=y_{\delta }(y_{\lambda })\quad {\text{on}}\quad \varphi _{\lambda }(N),} y α = y α ( y δ ) on φ δ ( N ) , {\displaystyle y_{\alpha }=y_{\alpha }(y_{\delta })\quad {\text{on}}\quad \varphi _{\delta }(N),} 由此
y α = y α ( y δ ( y λ ) ) on φ δ ( N ) . {\displaystyle y_{\alpha }=y_{\alpha }\left(y_{\delta }(y_{\lambda })\right)\quad {\text{on}}\quad \varphi _{\delta }(N).} 由于 w ∈ U α ∩ W λ {\displaystyle w\in U_{\alpha }\cap W_{\lambda }} 是任意的,可以总结 y α ( x λ , y λ ) {\displaystyle y_{\alpha }(x_{\lambda },\ y_{\lambda })} 局部依赖于 x λ {\displaystyle x_{\lambda }} 。于是可以证明 U ≈ W {\displaystyle {\mathcal {U}}\thickapprox {\mathcal {W}}} ,因为相干是可传递的。[ 10]
规则叶状图册中的图。 上面定义的开集上的斑与横截也是开的。不过,我们也可以谈论闭的斑与横截:若 ( U , φ ) , ( W , ψ ) {\displaystyle (U,\ \varphi ),\ (W,\ \psi )} 都是叶状图,使得 U ¯ {\displaystyle {\overline {U}}} (U 的闭包 )是W 的子集, φ = ψ | U {\displaystyle \varphi =\psi |U} ;则,若 φ ( U ) = B τ × B ⋔ , {\displaystyle \varphi (U)=B_{\tau }\times B_{\pitchfork },} 可知 ψ | U ¯ {\displaystyle \psi |{\overline {U}}} ,写作 φ ¯ {\displaystyle {\overline {\varphi }}} ,将 U ¯ {\displaystyle {\overline {U}}} 微分同胚地带到 B ¯ τ × B ¯ ⋔ . {\displaystyle {\overline {B}}_{\tau }\times {\overline {B}}_{\pitchfork }.}
符合以下条件的叶状图册称作规则的(regular):
∀ α ∈ A , U ¯ α {\displaystyle \forall \alpha \in A,\ {\overline {U}}_{\alpha }} 是叶状图 ( W α , ψ α ) {\displaystyle (W_{\alpha },\ \psi _{\alpha })} 的紧子集,且 φ α = ψ α | U α {\displaystyle \varphi _{\alpha }=\psi _{\alpha }|U_{\alpha }} ; 覆盖 { U α | α ∈ A } {\displaystyle \{U_{\alpha }|\alpha \in A\}} 是局部有限的; 若 ( U α , φ α ) , ( U β , φ β ) {\displaystyle (U_{\alpha },\ \varphi _{\alpha }),\ (U_{\beta },\ \varphi _{\beta })} 都是叶状图册的元素,则每个闭斑 P ⊂ U ¯ α {\displaystyle P\subset {\overline {U}}_{\alpha }} 的内部与最多与 U ¯ β {\displaystyle {\overline {U}}_{\beta }} 中的1个斑相遇。[ 11] 根据性质 (1),坐标 x α , y α {\displaystyle x_{\alpha },\ y_{\alpha }} 延伸到 U ¯ α {\displaystyle {\overline {U}}_{\alpha }} 上的坐标 x ¯ α , y ¯ α {\displaystyle {\overline {x}}_{\alpha },\ {\overline {y}}_{\alpha }} ,可以写成 φ ¯ α = ( x ¯ α , y ¯ α ) . {\displaystyle {\overline {\varphi }}_{\alpha }=\left({\overline {x}}_{\alpha },{\overline {y}}_{\alpha }\right).} 性质 (3)等价于要求:若 U α ∩ U β ≠ ∅ {\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing } ,横坐标变化 y ¯ α = y ¯ α ( x ¯ β , y ¯ β ) {\displaystyle {\overline {y}}_{\alpha }={\overline {y}}_{\alpha }\left({\overline {x}}_{\beta },{\overline {y}}_{\beta }\right)} 独立于 x ¯ β . {\displaystyle {\overline {x}}_{\beta }.} 即
g ¯ α β = φ ¯ α ∘ φ ¯ β − 1 : φ ¯ β ( U ¯ α ∩ U ¯ β ) → φ ¯ α ( U ¯ α ∩ U ¯ β ) {\displaystyle {\overline {g}}_{\alpha \beta }={\overline {\varphi }}_{\alpha }\circ {\overline {\varphi }}_{\beta }^{-1}:{\overline {\varphi }}_{\beta }\left({\overline {U}}_{\alpha }\cap {\overline {U}}_{\beta }\right)\rightarrow {\overline {\varphi }}_{\alpha }\left({\overline {U}}_{\alpha }\cap {\overline {U}}_{\beta }\right)} 有公式[ 11]
g ¯ α β ( x ¯ β , y ¯ β ) = ( x ¯ α ( x ¯ β , y ¯ β ) , y ¯ α ( y ¯ β ) ) . {\displaystyle {\overline {g}}_{\alpha \beta }\left({\overline {x}}_{\beta },{\overline {y}}_{\beta }\right)=\left({\overline {x}}_{\alpha }\left({\overline {x}}_{\beta },{\overline {y}}_{\beta }\right),{\overline {y}}_{\alpha }\left({\overline {y}}_{\beta }\right)\right).} 类似论断也适于开图(无覆盖线)。横坐标映射 y α {\displaystyle y_{\alpha }} 可视作浸没
y α : U α → R q {\displaystyle y_{\alpha }:U_{\alpha }\rightarrow \mathbb {R} ^{q}} 公式 y α = y α ( y β ) {\displaystyle y_{\alpha }=y_{\alpha }(y_{\beta })} 可视作微分同胚
γ α β : y β ( U α ∩ U β ) → y α ( U α ∩ U β ) . {\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }:y_{\beta }\left(U_{\alpha }\cap U_{\beta }\right)\rightarrow y_{\alpha }\left(U_{\alpha }\cap U_{\beta }\right).} 它们满足上循环条件 ,即,在 y δ ( U α ∩ U β ∩ U δ ) {\displaystyle y_{\delta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta }\cap U_{\delta })} 上,
γ α δ = γ α β ∘ γ β δ {\displaystyle \gamma _{\alpha \delta }=\gamma _{\alpha \beta }\circ \gamma _{\beta \delta }} 尤其是,[ 12]
γ α α ≡ y α ( U α ) , {\displaystyle \gamma _{\alpha \alpha }\equiv y_{\alpha }\left(U_{\alpha }\right),} γ α β = γ β α − 1 . {\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }=\gamma _{\beta \alpha }^{-1}.} 用上述关于相干性和规则性的定义,可证明每个叶状图册都有规则的相干细化 。[ 13]
证明 [ 13] 固定M 上的一个度量核一个叶状图册 W . {\displaystyle {\mathcal {W}}.} 传递到子覆盖 ,如有必要,可假设 W = { W j , ψ j } j = 1 l {\displaystyle {\mathcal {W}}=\left\{W_{j},\psi _{j}\right\}_{j=1}^{l}} 有限。令ε > 0是 W {\displaystyle {\mathcal {W}}} 的勒贝格数 ,即直径< ε的 ∀ ⊂ X ⊆ M {\displaystyle \forall \subset X\subseteq M} 都完全位于某个 W j {\displaystyle W_{j}} 中。 ∀ x ∈ M {\displaystyle \forall x\in M} ,择j 使得 x ∈ W j {\displaystyle x\in W_{j}} 、择叶状图 ( U x , φ x ) {\displaystyle (U_{x},\ \varphi _{x})} 使得
x ∈ U x ⊆ U ¯ x ⊂ W j , {\displaystyle x\in U_{x}\subseteq {\overline {U}}_{x}\subset W_{j},} φ x = ψ j | U x , {\displaystyle \varphi _{x}=\psi _{j}|U_{x},} d i a m ( U x ) < ε / 2. {\displaystyle {\rm {diam}}(U_{x})<\varepsilon /2.} 设 U x ⊂ W k ( k ≠ j ) {\displaystyle U_{x}\subset W_{k}\ (k\neq j)} ,并照常记 ψ k = ( x k , y k ) ( y k : W k → R q ) {\displaystyle \psi _{k}=(x_{k},\ y_{k})\ (y_{k}:\ W_{k}\to \mathbb {R} ^{q})} 是横坐标映射。这是浸没 ,以 W k {\displaystyle W_{k}} 中的斑为水平集。因此, y k {\displaystyle y_{k}} 限制到浸没 y k : U x → R q . {\displaystyle y_{k}:\ U_{x}\to \mathbb {R} ^{q}.}
这在 x j {\displaystyle x_{j}} 中是局部为常的;因此,若有必要可以选择较小的 U x {\displaystyle U_{x}} ,假定 y k | U ¯ x {\displaystyle y_{k}|{\overline {U}}_{x}} 以 U ¯ x {\displaystyle {\overline {U}}_{x}} 的斑为水平集。即, W k {\displaystyle W_{k}} 的斑最多与 U ¯ x {\displaystyle {\overline {U}}_{x}} 的一个(紧)斑相遇(因此包含)。由于1 < k < l < ∞ ,可以择 U x {\displaystyle U_{x}} ,使得只要 U x ⊂ W k {\displaystyle U_{x}\subset W_{k}} , U ¯ x {\displaystyle {\overline {U}}_{x}} 的不同斑就位于 W k {\displaystyle W_{k}} 的不同斑中。传递到 { ( U x , φ x ) | x ∈ M } {\displaystyle \{(U_{x},\ \varphi _{x})|x\in M\}} 的有限子图册 U = { U i , φ i } i = 1 N {\displaystyle {\mathcal {U}}=\left\{U_{i},\varphi _{i}\right\}_{i=1}^{N}} 。若 U i ∩ U j ≠ 0 , d i a m ( U i ∪ U j ) < ε {\displaystyle U_{i}\cap U_{j}\neq 0,\ {\rm {diam}}(U_{i}\cup U_{j})<\varepsilon } ,于是存在索引k 使得 U ¯ i ∪ U ¯ j ⊆ W k {\displaystyle {\overline {U}}_{i}\cup {\overline {U}}_{j}\subseteq W_{k}} 。 U ¯ i {\displaystyle {\overline {U}}_{i}} 的不同斑(分别是 U ¯ j {\displaystyle {\overline {U}}_{j}} 的不同斑)位于 W k {\displaystyle W_{k}} 的不同斑中。因此 U ¯ i {\displaystyle {\overline {U}}_{i}} 的每个斑内部最多与 U ¯ j {\displaystyle {\overline {U}}_{j}} 的一个斑相交,反之亦然。根据构造, U {\displaystyle {\mathcal {U}}} 是 W {\displaystyle {\mathcal {W}}} 的相干细化,是规则叶状图册。
若M 非紧,局部紧 性和第二可数性 允许我们选择紧子集序列 { K i } i = 0 ∞ {\displaystyle \left\{K_{i}\right\}_{i=0}^{\infty }} ,使得 ∀ i ≥ 0 , M = ⋃ i = 1 ∞ K i , K i ⊂ i n t K i + 1 {\displaystyle \forall i\geq 0,\ M=\bigcup _{i=1}^{\infty }K_{i},\ K_{i}\subset {\rm {int}}K_{i+1}} 。传递到子图集,假定 W = { W j , ψ j } j = 0 ∞ {\displaystyle {\mathcal {W}}=\left\{W_{j},\psi _{j}\right\}_{j=0}^{\infty }} 可数,且可找到严格递增正整数列 { n l } l = 0 ∞ {\displaystyle \left\{n_{l}\right\}_{l=0}^{\infty }} 使 W l = { W j , ψ j } j = 0 n l {\displaystyle {\mathcal {W}}_{l}=\left\{W_{j},\psi _{j}\right\}_{j=0}^{n_{l}}} 是 K l {\displaystyle K_{l}} 的覆盖。令 δ l {\displaystyle \delta _{l}} 表示 K l {\displaystyle K_{l}} 到 ∂ K l + 1 {\displaystyle \partial K_{l+1}} 的距离,并择 ε l > 0 {\displaystyle \varepsilon _{l}>0} ,小到对于 l ≥ 1 , ε 0 < δ 0 / 2 {\displaystyle l\geq 1,\ \varepsilon _{0}<\delta _{0}/2} ,都有 ε l < m i n { δ l / 2 , ε l − 1 } {\displaystyle \varepsilon _{l}<{\rm {min}}\{\delta _{l}/2,\ \varepsilon _{l-1}\}} ( ε l {\displaystyle \varepsilon _{l}} 是 W l {\displaystyle {\mathcal {W}}_{l}} (作为 K l {\displaystyle K_{l}} 的开覆盖)与 W l + 1 {\displaystyle {\mathcal {W}}_{l+1}} (作为 K l + 1 {\displaystyle K_{l+1}} 的开覆盖)的勒贝格数)。更确切地说,若 X ⊂ M {\displaystyle X\subset M} 与 L l {\displaystyle L_{l}} 相遇(或 K l + 1 {\displaystyle K_{l+1}} ),且 d i a m X < ε l {\displaystyle {\rm {diam}}X<\varepsilon _{l}} ,则X 位于 W l {\displaystyle {\mathcal {W}}_{l}} 的某个元素中(或 W l + 1 {\displaystyle {\mathcal {W}}_{l+1}} )。 ∀ x ∈ K l ╲ i n t K l − 1 {\displaystyle \forall x\in K_{l}\diagdown {\rm {int}}K_{l-1}} ,与紧情形一样构造 ( U x , φ x ) {\displaystyle (U_{x},\ \varphi _{x})} ,要求 U ¯ x {\displaystyle {\overline {U}}_{x}} 是 W j {\displaystyle W_{j}} 的紧子集,且 ∀ j ≤ n l , φ x = ψ j | U x {\displaystyle \forall j\leq n_{l},\ \varphi _{x}=\psi _{j}|U_{x}} 。同时,要求 d i a m U ¯ x < ε l / 2 {\displaystyle {\rm {diam}}{\overline {U}}_{x}<\varepsilon _{l}/2} 。和之前一样,传递到 K l ╲ i n t K l − 1 {\displaystyle K_{l}\diagdown {\rm {int}}K_{l-1}} 的有限子覆盖 { U i , φ i } i = n l − 1 + 1 n l {\displaystyle \left\{U_{i},\varphi _{i}\right\}_{i=n_{l-1}+1}^{n_{l}}} (此处取 n − 1 = 0 {\displaystyle n_{-1}=0} 。)这样就创造了规则叶状图册 U = { U i , φ i } i = 1 ∞ {\displaystyle {\mathcal {U}}=\left\{U_{i},\varphi _{i}\right\}_{i=1}^{\infty }} ,细化了 W {\displaystyle {\mathcal {W}}} 并与 W {\displaystyle {\mathcal {W}}} 相干。
根据实现叶状结构的方式,有几种不同的定义。最常见方式是通过流形分解 ,得到
通过坐标函数 x : U → R n {\displaystyle x:\ U\to \mathbb {R} ^{n}} 分解 定义 n 维流形M 的p -维 C r {\displaystyle C^{r}} 类叶状结构是将M 分解为不交 连通子流形 { L α } α ∈ A {\displaystyle \{L_{\alpha }\}_{\alpha \in A}} 的并,称作叶状结构的叶(leaf),具有如下性质:M 的点都有邻域U 和局部 C r {\displaystyle C^{r}} 类坐标系 x = ( x 1 , … , x n ) : U → R n {\displaystyle x=(x^{1},\ \ldots ,\ x^{n}):\ U\to \mathbb {R} ^{n}} ,使得对每片叶 L α {\displaystyle L_{\alpha }} , U ∩ L α {\displaystyle U\cap L_{\alpha }} 的组分都由方程组 x p + 1 = 常数 , … , x n = 常数 {\displaystyle x^{p+1}={\text{常数}},\ \ldots ,\ x^{n}={\text{常数}}} 描述。则,叶状结构记作 F = { L α } α ∈ A . {\displaystyle {\mathcal {F}}=\{L_{\alpha }\}_{\alpha \in A}.} [ 5]
叶的概念可以让我们直观地思考叶状结构。若用稍微几何化的定义,n 维流形M 的p 维叶状结构 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 也许可简单视作M 的逐对不交、连通浸没的p 维子流形(叶状结构的叶)的集合 { M a } {\displaystyle \{M_{a}\}} ,使得对点 ∀ x ∈ M {\displaystyle \forall x\in M} ,都有图 ( U , φ ) {\displaystyle (U,\varphi )} ,其中U 同胚于 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} ,包含的x 使得对每片叶 M a {\displaystyle M_{a}} ,与U 相遇或为空集或为子空间的可数集 ,其在 φ ( M a ∩ U ) {\displaystyle \varphi (M_{a}\cap U)} 中 φ {\displaystyle \varphi } 的像下是前n-p个坐标为常数的p 维仿射子空间 。
叶状结构局部上都是浸没 ,允许下列定义
定义 令M 、Q 是n 维流形,q ≤n ,并令 f : M → Q {\displaystyle f:\ M\to Q} 是浸没,即假设函数微分矩阵(雅可比矩阵 )的秩为q ,则据隐函数定理 ,ƒ 在M 上诱导了余维为q 的叶状结构,其中的叶定义为 x ∈ Q , f − 1 ( x ) . {\displaystyle x\in Q,\ f^{-1}(x).} [ 5]
这定义描述了n 维流形M 的p 维叶状结构 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} ,是由图 (chart) U i {\displaystyle U_{i}} 与下列映射覆盖的:
φ i : U i → R n {\displaystyle \varphi _{i}:U_{i}\to \mathbb {R} ^{n}} 这样,对重叠对 U i , U j {\displaystyle U_{i},\ U_{j}} ,转移函数 φ i j : R n → R n {\displaystyle \varphi _{ij}:\ \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}} 定义为
φ i j = φ j φ i − 1 {\displaystyle \varphi _{ij}=\varphi _{j}\varphi _{i}^{-1}} 形式为
φ i j ( x , y ) = ( φ i j 1 ( x ) , φ i j 2 ( x , y ) ) {\displaystyle \varphi _{ij}(x,y)=(\varphi _{ij}^{1}(x),\varphi _{ij}^{2}(x,y))} 其中x 表示前 q = n − p {\displaystyle q=n-p} 个坐标,y 表示后p 个坐标(co-ordinates),即
φ i j 1 : R q → R q φ i j 2 : R n → R p {\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{ij}^{1}:{}&\mathbb {R} ^{q}\to \mathbb {R} ^{q}\\\varphi _{ij}^{2}:{}&\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{p}\end{aligned}}} 将转移函数 φ i j {\displaystyle \varphi _{ij}} 拆分为 φ i j 1 ( x ) , φ i j 2 ( x , y ) {\displaystyle \varphi _{ij}^{1}(x),\ \varphi _{ij}^{2}(x,y)} ,作为浸没的一部分完全类似于将 g ¯ α β {\displaystyle {\overline {g}}_{\alpha \beta }} 拆分为 y ¯ α ( y ¯ β ) , x ¯ α ( x ¯ β , y ¯ β ) {\displaystyle {\overline {y}}_{\alpha }\left({\overline {y}}_{\beta }\right),\ {\overline {x}}_{\alpha }\left({\overline {x}}_{\beta },{\overline {y}}_{\beta }\right)} ,作为规则叶状图册定义的一部分。这使得可以用规则叶状图册定义叶状结构成为可能。为此,必须首先证明,余维度为q 的规则叶状图册都与唯一的余维度为q 的叶状结构 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 相关联。[ 13]
证明[ 13] 令 U = { U a , φ α } α ∈ A {\displaystyle {\mathcal {U}}=\left\{U_{a},\varphi _{\alpha }\right\}_{\alpha \in A}} 是余维为q 的规则叶状图册。在M 上定义等价关系:x ~ y ,当且仅当 ∃ U {\displaystyle \exists {\mathcal {U}}} -斑 P 0 {\displaystyle P_{0}} 使得 x , y ∈ P 0 {\displaystyle x,\ y\in P_{0}} ,或有 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} -斑的序列 L = { P 0 , P 1 , … , P p } {\displaystyle L=\{P_{0},\ P_{1},\ \dots ,\ P_{p}\}} 使得 x ∈ P 0 , y ∈ P p , P i ∩ P i − 1 ≠ ∅ ( 1 ≤ i ≤ p ) {\displaystyle x\in P_{0},\ y\in P_{p},\ P_{i}\cap P_{i-1}\neq \varnothing \ (1\leq i\leq p)} 成立。称序列L 为连接x 、y 的长p 的斑链。 x , y ∈ P 0 {\displaystyle x,\ y\in P_{0}} 时,可以说 { P 0 } {\displaystyle \{P_{0}\}} 是连接x 、y 的长度为0的斑链。~是等价关系,这很清楚;同样明显的是,等价类L 都是斑的并。由于 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} -斑只能在彼此的开子集中相互重叠,所以L 在局部是维度为n-q的拓扑浸入(immerse)子流形。斑 P ⊂ L {\displaystyle P\subset L} 的开子集在L 上构成了n-q维的局部欧氏拓扑的基,L 在这拓扑中显然是连通的。要检验L 是否为豪斯多夫空间 也是平凡的,主要问题是要证明L 第二可数 。由于斑都是第二可数的,所以对L 只需证L 中 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} -斑集最多为可数无穷。固定一个这样的斑 P 0 {\displaystyle P_{0}} ,根据规则叶状图册的定义,其只与有限多个其他斑相遇。即,只有有限多长1的斑链 { P 0 , P i } {\displaystyle \{P_{0},\ P_{i}\}} 。归纳始于 P 0 {\displaystyle P_{0}} 的p 长斑链,同样可证明长度≤ p的斑链只有有限多条。根据~的定义,L 中所有 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} -斑都可通过始于 P 0 {\displaystyle P_{0}} 的有限斑链抵达,因此可得上述论断。
正如证明所示,叶状结构的叶是长度 ≤ p 的斑链的等价类,也是拓扑浸入豪斯多夫p 维子流形 。接着,我们将证明叶上斑的等价关系可用相干叶状图册的等价来表示,即它们与叶状结构的联系。更具体地说,若 U , V {\displaystyle {\mathcal {U}},\ {\mathcal {V}}} 是M 上的叶状图册、且若 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} 与叶状结构 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 相关联,则当且仅当 V {\displaystyle {\mathcal {V}}} 也与 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 相关联时, U , V {\displaystyle {\mathcal {U}},\ {\mathcal {V}}} 相干。[ 10]
现在很明显,M 上的叶状结构与叶状图册间的关联关系产生了M 的叶状结构集同叶状图册的相干类集之间的一一对应,换句话说,M 上余维为q 的 C r {\displaystyle C^{r}} 类叶状结构 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 是余维为q 的 C r {\displaystyle C^{r}} 类叶状图册的相干类。[ 14] 据佐恩引理 ,叶状图册相干类显然包含唯一的最大叶状图册。于是,
定义 M 上余维为q 的 C r {\displaystyle C^{r}} 类叶状结构是M 上余维为q 的最大叶状 C r {\displaystyle C^{r}} -图册。[ 14]
实践中,通常用较小的叶状图册表示叶状结构,通常还要求是规则的。
在图 U i {\displaystyle U_{i}} 中,条纹 x = 常数 {\displaystyle x={\text{常数}}} 与别的图 U j {\displaystyle U_{j}} 上的条相匹配。这些子流形在图之间拼接成最大连通 单射浸入子流形 ,就是叶状结构的叶 (leaf)。 若缩小图 U i {\displaystyle U_{i}} ,可以写成 U i x × U i y {\displaystyle U_{ix}\times U_{iy}} ,其中 U i x ⊂ R n − p , U i y ⊂ R p . U i y {\displaystyle U_{ix}\subset \mathbb {R} ^{n-p},\ U_{iy}\subset \mathbb {R} ^{p}.\ \ U_{}iy} 与斑同构, U i x {\displaystyle U_{ix}} 的点参数化了 U i {\displaystyle U_{i}} 中的斑。若择 y 0 ∈ U i y {\displaystyle y_{0}\in U_{iy}} ,则 U i x × { y 0 } {\displaystyle U_{ix}\times \{y_{0}\}} 是 U i {\displaystyle U_{i}} 的子流形,与每个斑恰交一次,这叫做叶状结构的局部横截 面 。注意,由于单值性 的原因,全局横截面可能不存在。
r = 0的情形比较特殊。实践中出现的 C 0 {\displaystyle C^{0}} 叶状结构通常是“光滑叶”。更确切地说,是以下意义的 C r , 0 {\displaystyle C^{r,\ 0}} 类:
定义 若叶状图册的相应相干类包含规则叶状图册 { U α , x α , y α } α ∈ A {\displaystyle \{U_{\alpha },\ x_{\alpha },\ y_{\alpha }\}_{\alpha \in A}} ,使得坐标变换式
g α β ( x β , y β ) = ( x α ( x β , y β ) , y α ( y β ) ) . {\displaystyle g_{\alpha \beta }(x_{\beta },y_{\beta })=(x_{\alpha }(x_{\beta },y_{\beta }),y_{\alpha }(y_{\beta })).} 属于 C k {\displaystyle C^{k}} 类,但 x α {\displaystyle x_{\alpha }} 在坐标 x β {\displaystyle x_{\beta }} 中是 C r {\displaystyle C^{r}} 类,其阶数≤ r 、与 x β {\displaystyle x_{\beta }} 的混合偏导数在坐标 ( x β , y β {\displaystyle (x_{\beta },\ y_{\beta }} 中是 C k {\displaystyle C^{k}} 类,则称叶状结构 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 属于 C r , k ( r > k ≥ 0 ) {\displaystyle C^{r,\ k}\ (r>k\geq 0)} 类。[ 14]
上述定义是所谓“叶状空间”的更一般概念。我们可以放宽横截的条件为 R q {\displaystyle \mathbb {R} ^{q}} 的相对紧开子集,允许横坐标 y α {\displaystyle y_{\alpha }} 在更一般的拓扑空间Z 中取值。斑仍是 R q {\displaystyle \mathbb {R} ^{q}} 的相对紧开子集,横坐标公式 y α ( y β ) {\displaystyle y_{\alpha }(y_{\beta })} 的变化是连续的, x α ( x β , y β ) {\displaystyle x_{\alpha }(x_{\beta },\ y_{\beta })} 在坐标 x β {\displaystyle x_{\beta }} 中属于 C r {\displaystyle C^{r}} 类,其阶数 ≤ r 、与 x β {\displaystyle x_{\beta }} 的混合偏导数在坐标 ( x β , y β ) {\displaystyle (x_{\beta },\ y_{\beta })} 中连续。一般要求M 、Z 为局部紧可测第二可数空间 。这似乎是很狂野的推广,但在一些情形下很有用。[ 15]
令 ( M , F ) {\displaystyle (M,\ {\mathcal {F}})} 是叶状流形(foliated manifold)。设L 是 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 的叶,s 是L 中的路径,我们感兴趣的是M 中s 的邻域中叶状结构的行为。直观地说,在叶上可以沿路径s 行走,同时关注附近所有叶。在他(以下写作s (t ))行走时,一些叶可能会“掉落”、变得不可见;另一些可能会突然进入可视范围,渐渐接近L ;还有些可能会以接近平行的方式跟随L ,或垂直地打转之类。若s 是环路,则随着t 增大,s (t )会反复回到同一个点s (t 0 ),每次都会有更多叶螺旋状地进入或离开视野。这种行为经过适当的形式化,叫做叶状结构的完整性(holonomy)。
完整性在叶状流形上有多种具体实现方式:叶状丛(foliated bundle)的总完整群、一般叶状流形的完整伪群、一般叶状流形的亏格完整广群、叶的亏格完整群、叶的无穷小完整群。
最容易理解的完整性是叶状丛的总完整性,这是庞加莱映射 概念的推广。
横截面(cross section)N 与第一回归映射(first return map)f ,其中 M = S 1 × D 2 , N = D 2 . {\displaystyle M=S^{1}\times D^{2},\ N=D^{2}.} “第一回归映射” 来自动力系统理论。令 Φ t {\displaystyle \Phi _{t}} 是紧n -流形上的非奇异 C r ( r ≥ 1 ) {\displaystyle C^{r}\ (r\geq 1)} 流。应用中,可以想象M 是个回旋加速器 或流体的闭合回路。若M 有界,则假定流与界相切。流生成了1维叶状结构 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 。若知道流的正方向,但不知道其他参数(轨迹形状、速度等),则称底叶状结构(underlying foliation) F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 有向。假设流有全局横截面N ,即N 是M 的n-1维紧正合嵌入的 C r {\displaystyle C^{r}} 子流形,叶状结构 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 垂直于N ,每条流线都与N 相遇。由于N 的维度与叶的维度是互补的,横截性条件是
T y ( M ) = T y ( F ) ⊕ T y ( N ) for each y ∈ N . {\displaystyle T_{y}(M)=T_{y}({\mathcal {F}})\oplus T_{y}(N){\text{ for each }}y\in N.} 令 y ∈ N {\displaystyle y\in N} ,考虑M 中所有序列 { Φ t k ( y ) } k = 1 ∞ {\displaystyle \left\{\Phi _{t_{k}}(y)\right\}_{k=1}^{\infty }} 的所有堆积点的ω -极限集合 ω(y),其中 t k {\displaystyle t_{k}} 为无穷大。可以证明,ω(y)是紧非空的,是流线的并。若 z = lim k → ∞ Φ t k ∈ ω ( y ) , {\displaystyle z=\lim _{k\rightarrow \infty }\Phi _{t_{k}}\in \omega (y),} 则有值 t ∗ ∈ R {\displaystyle t^{*}\in \mathbb {R} } 使得 Φ t ∗ ( z ) ∈ N {\displaystyle \Phi _{t^{*}}(z)\in N} ,由此可得
lim k → ∞ Φ t k + t ∗ ( y ) = Φ t ∗ ( z ) ∈ N . {\displaystyle \lim _{k\to \infty }\Phi _{t_{k}+t^{\ast }}(y)=\Phi _{t^{\ast }}(z)\in N.} 由于N 是紧的, F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 横截于N ,因此集合 { t > 0 | Φ t ( y ) ∈ N } {\displaystyle \{t>0|\Phi _{t}(y)\in N\}} 是单调递增序列 { τ k ( y ) } k = 1 ∞ {\displaystyle \{\tau _{k}(y)\}_{k=1}^{\infty }} ,并发散。
当 y ∈ N {\displaystyle y\in N} 变化,令 τ ( y ) = τ 1 ( y ) {\displaystyle \tau (y)=\tau _{1}(y)} ,这样定义一个正函数 τ ∈ C r ( N ) {\displaystyle \tau \in C^{r}(N)} (第一回归时间),使得 ∀ y ∈ N , Φ t ( y ) ∉ N , 0 < t < τ ( y ) , Φ τ ( y ) ( y ) ∈ N . {\displaystyle \forall y\in N,\ \Phi _{t}(y)\notin N,\ 0<t<\tau (y),\ \Phi _{\tau (y)}(y)\in N.}
定义 f : N → N , f ( y ) = Φ τ ( y ) ( y ) . {\displaystyle f:\ N\to N,\ f(y)=\Phi _{\tau (y)}(y).} 这是 C r {\displaystyle C^{r}} 映射。若流反向,则完全相同的构造会得到逆的 f − 1 {\displaystyle f^{-1}} ;所以 f ∈ D i f f r ( N ) {\displaystyle f\in {\rm {Diff}}^{r}(N)} 。这个微分同胚是第一回归映射,τ称作第一回归时间 。虽然第一回归时间取决于流的参数化,但f 显然只取决于有向叶状结构 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 。可以将流 Φ t {\displaystyle \Phi _{t}} 重参数化,使其保持非奇异、是 C r {\displaystyle C^{r}} 类,且方向不翻转,从而使 τ ≡ 1. {\displaystyle \tau \equiv 1.}
流有横截面N的假设是很受限的,意味着M 是 S 1 {\displaystyle S^{1}} 上纤维丛的总空间。事实上在 R × N {\displaystyle \mathbb {R} \times N} 上,可将 ∼ f {\displaystyle \sim _{f}} 定义为以下条件生成的等价关系:
( t , y ) ∼ f ( t − 1 , f ( y ) ) . {\displaystyle (t,y)\sim _{f}(t-1,f(y)).} 等价地,这是加法群Z 在 R × N {\displaystyle \mathbb {R} \times N} 上的作用的轨等价,定义如下
∀ k ∈ Z , ∀ ( t , y ) ∈ R × N , k ⋅ ( t , y ) = ( t − k , f k ( y ) ) . {\displaystyle \forall k\in \mathbb {Z} ,\ \forall (t,\ y)\in \mathbb {R} \times N,\ k\cdot (t,y)=(t-k,f^{k}(y)).} f 的映射圆柱定义为 C r {\displaystyle C^{r}} 流形
M f = ( R × N ) / ∼ f . {\displaystyle M_{f}=(\mathbb {R} \times N)/{\sim _{f}}.} 由第一回归映射f 的定义与第一回归时间 τ ≡ 1 {\displaystyle \tau \equiv 1} 的假设,可立即得出映射
Φ : R × N → M . {\displaystyle \Phi :\mathbb {R} \times N\rightarrow M.} 流的定义可诱导一个规范 C r {\displaystyle C^{r}} 微分同胚
φ : M f → M . {\displaystyle \varphi :M_{f}\rightarrow M.} 若记 M f = M {\displaystyle M_{f}=M} ,则 R × N {\displaystyle \mathbb {R} \times N} 到R 的投影诱导了 C r {\displaystyle C^{r}} 映射
π : M → R / Z = S 1 {\displaystyle \pi :M\rightarrow \mathbb {R} /\mathbb {Z} =S^{1}} 使M 变为圆上纤维丛 的总空间。这只是 S 1 × D 2 {\displaystyle S^{1}\times D^{2}} 到 S 1 {\displaystyle S^{1}} 的投影。叶状结构 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 横截于这丛的纤维,限制到每片叶L 的丛投影π是覆盖映射 π : L → S 1 {\displaystyle \pi :\ L\to S^{1}} ,这就是叶状丛(foliated bundle)。
以 x 0 ∈ S 1 {\displaystyle x_{0}\in S^{1}} 的等价类 0 + Z {\displaystyle 0+\mathbb {Z} } 为基点, π − 1 ( x 0 ) {\displaystyle \pi ^{-1}(x_{0})} 就是原横截面N 。对 S 1 {\displaystyle S^{1}} 上以 x 0 {\displaystyle x_{0}} 为基点的每个环路s ,同伦类 [ s ] ∈ π 1 ( S 1 , x 0 ) {\displaystyle [s]\in \pi _{1}(S^{1},\ x_{0})} 的唯一特征是 d e g s ∈ Z {\displaystyle {\rm {deg}}s\in \mathbb {Z} } 。环路s 提升到每条流线中的一条路径,很明显提升 s y {\displaystyle s_{y}} 始于 y ∈ N {\displaystyle y\in N} 、终于 f k ( y ) ∈ N ( k = d e g s ) {\displaystyle f^{k}(y)\in N\ (k={\rm {deg}}s)} 。微分同胚 f k ∈ D i f f r ( N ) {\displaystyle f^{k}\in {\rm {Diff}}^{r}(N)} 也用 h s {\displaystyle h_{s}} 表示,称作环路s 的总整体性。由于只取决于[s ],因此定义了同胚
h : π 1 ( S 1 , x 0 ) → Diff r ( N ) , {\displaystyle h:\pi _{1}(S^{1},x_{0})\rightarrow \operatorname {Diff} ^{\,r}(N),} 称作叶状丛的总整体同胚。
更直观地运用纤维丛,令 ( M , F ) {\displaystyle (M,\ {\mathcal {F}})} 是余维为q 的叶状n -流形,令 π : M → B {\displaystyle \pi :\ M\to B} 是纤维丛,具有q 维纤维F 与连通基空间B 。假设所有这些结构都属于 C r ( 0 ≤ r ≤ ∞ ) {\displaystyle C^{r}\ (0\leq r\leq \infty )} 类,若r = 0,B 支持一个 C 1 {\displaystyle C^{1}} 结构。由于B 上的最大 C 1 {\displaystyle C^{1}} 图册都包含 C ∞ {\displaystyle C^{\infty }} 子图册,因此假设B 如所期望那般光滑并不失一般性。最后, ∀ x ∈ B {\displaystyle \forall x\in B} ,假设x 有连通开邻域 U ⊆ B {\displaystyle U\subseteq B} ,和局部平凡化
π − 1 ( U ) → φ U × F π ↓ ↓ p U → id U {\displaystyle {\begin{matrix}\pi ^{-1}(U)&{\xrightarrow {\varphi }}&U\times {F}\\\scriptstyle {\pi }{\Bigg \downarrow }&{\qquad }&{\Bigg \downarrow }{\scriptstyle {p}}\\U&{\xrightarrow {\text{id}}}&U\end{matrix}}} 其中φ 是 C r {\displaystyle C^{r}} 微分同胚(若r = 0则是同胚),将 F ∣ π − 1 ( U ) {\textstyle {\mathcal {F}}\mid \pi ^{-1}(U)} 带到积叶状结构 { U × { y } } y ∈ F {\displaystyle \{U\times \{y\}\}_{y\in F}} 。其中, F ∣ π − 1 ( U ) {\textstyle {\mathcal {F}}\mid \pi ^{-1}(U)} 是叶为 L ∩ π − 1 ( U ) {\displaystyle L\cap \pi ^{-1}(U)} 的连通组分的叶状结构,L 是 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 的叶。这是 C r {\displaystyle C^{r}} 类“叶状丛”(foliated bundle) ( M , F , π ) {\displaystyle (M,\ {\mathcal {F}},\ \pi )} 的一般定义。
F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 垂直于π的纤维(可以说 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 是垂直于纤维的),π到 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 的每片叶L 的限制是覆盖映射 π : L → B {\displaystyle \pi :\ L\to B} 。特别是,每条纤维 F x = π − 1 ( x ) {\displaystyle F_{x}=\pi ^{-1}(x)} 都与 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 的每片叶相遇。纤维是 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 的横截,与流的横截完全类似。
叶状结构 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 横截于纤维不能保证叶是B 的覆盖空间。这个问题的一个简单版本是 R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} 的一个叶状结构横截于纤维
π : R 2 → R , {\displaystyle \pi :\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ,} π ( x , y ) = x , {\displaystyle \pi (x,y)=x,} 但有无限多叶缺失了y 轴。在相应的图像中,“有箭头的”叶以及它们上面所有的叶都渐进于x = 0轴。一般称这种叶状结构为相对于纤维是不完备的,即当参数 x ∈ B {\displaystyle x\in B} 接近某个 x 0 ∈ B {\displaystyle x_{0}\in B} ,一些叶“奔向无穷大”。更确切地说,可能有叶L ,和一条连续路径 s : [ 0 , a ) → L {\displaystyle s:\ [0,\ a)\to L} 使得 lim t → a − π ( s ( t ) ) = x 0 ∈ B {\displaystyle \lim _{t\to a-}\pi (s(t))=x_{0}\in B} ,但 lim t → a − s ( t ) {\displaystyle \lim _{t\to a-}s(t)} 在L 的流形拓扑中不存在。这类似于不完备流,某些流线会在有限时间内发散。虽然这样的叶L 可能在别处与 π − 1 ( x 0 ) {\displaystyle \pi ^{-1}(x_{0})} 相遇,但不能均匀覆盖 x 0 {\displaystyle x_{0}} 的邻域,因此不可能是B 在π下的的覆盖空间。F 是紧的时, F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 对纤维的横截性确实保证了完备性,于是 ( M , F , π ) {\textstyle (M,{\mathcal {F}},\pi )} 是叶状丛。
B 上有图册 U = { U α , x α } α ∈ A {\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{\alpha },\ x_{\alpha }\}_{\alpha \in A}} ,包含开连通坐标图,以及平凡化 φ α : π − 1 ( U α ) → U α × F {\displaystyle \varphi _{\alpha }:\ \pi ^{-1}(U_{\alpha })\to U_{\alpha }\times F} ,将 F | π − 1 ( U α ) {\displaystyle {\mathcal {F}}|\pi ^{-1}(U_{\alpha })}