在数学 中,埃尔米特多项式 (Hermite polynomials)是一种经典的正交多项式 族,得名于法国 数学家 夏尔·埃尔米特 。概率论 裡的埃奇沃斯级数 的表达式中就要用到埃尔米特多项式。在组合数学 中,埃尔米特多项式是阿佩尔方程 的解。物理学 中,埃尔米特多项式给出了量子谐振子 的本征态 。
前六个(概率论中的)埃尔米特多项式的图像。 埃尔米特多项式有两种常见定义。
第一种是概率论 中较为常用的形式(记作: H n p r o b ( x ) {\displaystyle H_{n}^{\mathrm {prob} }(x)} ):
H n p r o b ( x ) = ( − 1 ) n e x 2 / 2 d n d x n e − x 2 / 2 {\displaystyle H_{n}^{\mathrm {prob} }(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}/2}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}/2}\,\!} 另一种是物理学 中较为常用的形式(记作: H n p h y s ( x ) {\displaystyle H_{n}^{\mathrm {phys} }(x)} ):
H n p h y s ( x ) = ( − 1 ) n e x 2 d n d x n e − x 2 {\displaystyle H_{n}^{\mathrm {phys} }(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}\,\!} 物理学舍弃了常系数0.5,两定义之间的关系是:
H n p h y s ( x ) = 2 n / 2 H n p r o b ( 2 x ) . {\displaystyle H_{n}^{\mathrm {phys} }(x)=2^{n/2}H_{n}^{\mathrm {prob} }({\sqrt {2}}\,x).\,\!} 概率论中常用第一种定义,因为 e − x 2 / 2 2 π {\displaystyle {\frac {e^{-x^{2}/2}}{\sqrt {2\pi }}}} 是标准正态分布 函数(数学期望 等于0,标准差 等于1)的概率密度函数 。
前六个(物理学中的)埃尔米特多项式的图像。 前六个概率学和物理学中的埃尔米特多项式 序号 概率学 物理学 H 0 ( x ) {\displaystyle H_{0}(x)} 1 {\displaystyle 1\,} 1 {\displaystyle 1\,} H 1 ( x ) {\displaystyle H_{1}(x)} x {\displaystyle x\,} 2 x {\displaystyle 2x\,} H 2 ( x ) {\displaystyle H_{2}(x)} x 2 − 1 {\displaystyle x^{2}-1\,} 4 x 2 − 2 {\displaystyle 4x^{2}-2\,} H 3 ( x ) {\displaystyle H_{3}(x)} x 3 − 3 x {\displaystyle x^{3}-3x\,} 8 x 3 − 12 x {\displaystyle 8x^{3}-12x\,} H 4 ( x ) {\displaystyle H_{4}(x)} x 4 − 6 x 2 + 3 {\displaystyle x^{4}-6x^{2}+3\,} 16 x 4 − 48 x 2 + 12 {\displaystyle 16x^{4}-48x^{2}+12\,} H 5 ( x ) {\displaystyle H_{5}(x)} x 5 − 10 x 3 + 15 x {\displaystyle x^{5}-10x^{3}+15x\,} 32 x 5 − 160 x 3 + 120 x {\displaystyle 32x^{5}-160x^{3}+120x\,}
多项式Hn 是一个n 次的多项式。概率论的埃尔米特多项式是首一多项式(最高次项系数等于1),而物理学的埃尔米特多项式的最高次项系数等于2n 。
正交性 [ 编辑 ] 多项式Hn 的次数与序号n 相同,所以不同的埃尔米特多项式的次数不一样。对于给定的权函数 w ,埃尔米特多项式的序列将会是正交序列。
w ( x ) = e − x 2 / 2 {\displaystyle w(x)=\mathrm {e} ^{-x^{2}/2}\,\!} (概率论) w ( x ) = e − x 2 {\displaystyle w(x)=\mathrm {e} ^{-x^{2}}\,\!} (物理学) 也就是说,当m ≠ n 时:
∫ − ∞ ∞ H m ( x ) H n ( x ) w ( x ) d x = 0 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{m}(x)H_{n}(x)\,w(x)\,\mathrm {d} x=0} 除此之外,还有:
∫ − ∞ ∞ H m p r o b ( x ) H n p r o b ( x ) e − x 2 / 2 d x = n ! 2 π δ m n {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{m}^{\mathrm {prob} }(x)H_{n}^{\mathrm {prob} }(x)\,\mathrm {e} ^{-x^{2}/2}\,\mathrm {d} x=n!\,{\sqrt {2\pi }}\delta _{mn}} (概率论) ∫ − ∞ ∞ H m p h y s ( x ) H n p h y s ( x ) e − x 2 d x = n ! 2 n π δ m n {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{m}^{\mathrm {phys} }(x)H_{n}^{\mathrm {phys} }(x)\,\mathrm {e} ^{-x^{2}}\,\mathrm {d} x=n!\,2^{n}{\sqrt {\pi }}\delta _{mn}} (物理学) 其中 δ m n {\displaystyle \delta _{mn}} 是克罗内克函数 。
从上式可以看到,概率论中的埃尔米特多项式与标准正态分布正交。
完备性 [ 编辑 ] 在所有满足
∫ − ∞ ∞ | f ( x ) | 2 w ( x ) d x < ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left|f(x)\right|^{2}\,w(x)\,\mathrm {d} x<\infty } 的函数所构成的完备空间 中,埃尔米特多项式序列构成一组基 。其中的内积 定义如下:
⟨ f , g ⟩ = ∫ − ∞ ∞ f ( x ) g ( x ) ¯ w ( x ) d x {\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,w(x)\,\mathrm {d} x} 埃尔米特微分方程 [ 编辑 ] 概率论 中的埃尔米特多项式是以下微分方程的解:
( e − x 2 / 2 u ′ ) ′ + λ e − x 2 / 2 u = 0 {\displaystyle (e^{-x^{2}/2}u')'+\lambda e^{-x^{2}/2}u=0} 方程的边界条件为: u {\displaystyle u} 应在无穷远处有界。
其中 λ {\displaystyle \lambda } 是这个方程的本征值,是一个常数。要满足上述边界条件,应取 λ {\displaystyle \lambda } ∈ N {\displaystyle \mathbb {N} } 。对于一个特定的本征值 λ {\displaystyle \lambda } ,对应着一个特定的本征函数解,即 H λ p r o b ( x ) {\displaystyle H_{\lambda }^{prob}(x)} 。
而物理学 中的埃尔米特多项式则是以下微分方程的解:
u ″ − 2 x u ′ + 2 λ u = 0 {\displaystyle u''-2xu'+2\lambda u=0} 其本征值同样为 λ {\displaystyle \lambda } ∈ N {\displaystyle \mathbb {N} } ,对应的本征函数解为 H λ p h y s ( x ) {\displaystyle H_{\lambda }^{phys}(x)} 。
以上两个微分方程都称为埃尔米特方程 。
參考文獻 [ 编辑 ] Arfken, Mathematical Methods for Physicists B Spain, M G Smith, Functions of mathematical physics , Van Nostrand Reinhold Company, London, 1970. Chapter 11 deals with Hermite polynomials. Bayin, S.S. (2006) Mathematical Methods in Science and Engineering , Wiley, Chapter 4. Courant, Richard; Hilbert, David, Methods of Mathematical Physics, Volume I, Wiley-Interscience, 1953 . Erdélyi, Arthur; Magnus, Wilhelm; Oberhettinger, Fritz; Tricomi, Francesco G., Higher transcendental functions. Vol. II, McGraw-Hill, 1955 Fedoryuk, M.V., H/h046980 , Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书 , Springer , 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 . Szegő, Gábor, Orthogonal Polynomials, American Mathematical Society, 1939, 1955 Wiener, Norbert, The Fourier Integral and Certain of its Applications, New York: Dover Publications, 1958, ISBN 0-486-60272-9 Whittaker, E. T.; Watson, G. N. A Course of Modern Analysis 4th Edition. London: Cambridge University Press. 1962. Temme, Nico, Special Functions: An Introduction to the Classical Functions of Mathematical Physics , Wiley, New York, 1996 外部链接 [ 编辑 ]