大q-勒让德多项式 是一个以基本超几何函数 定义的正交多项式[ 1]
BIG Q-LEGENDER 2D PLOT P n ( x ; c ; q ) = 3 ϕ 2 ( q − n , q n + 1 , x ; q , c q ; q , q ) {\displaystyle \displaystyle P_{n}(x;c;q)={}_{3}\phi _{2}(q^{-n},q^{n+1},x;q,cq;q,q)} 大q-勒让德多项式满足下列正交关系
∫ c q q P m ( x ; c ; q ) P n ( x ; c ; q ) d q x = q ( 1 − c ) 1 − q 1 − q 2 n + 1 ( c − 1 q ; q ) n ( c q ; q ) n ( − c q 2 ) n q ( n 2 ) δ m n {\displaystyle \int _{cq}^{q}P_{m}(x;c;q)P_{n}(x;c;q)d_{q}x=q(1-c){\frac {1-q}{1-q^{2n+1}}}{\frac {(c^{-1}q;q)_{n}}{(cq;q)_{n}}}(-cq^{2})^{n}q^{n \choose 2}\delta _{mn}}
大Q勒让德多项式→勒让德多项式 lim q → 1 P n ( x ; 0 ; q ) = P n ( 2 x − 1 ) {\displaystyle \displaystyle \lim _{q\to 1}P_{n}(x;0;q)=P_{n}(2x-1)} c = 0 {\displaystyle c=0}
验证 将c=0代人7阶(n=7)大q勒让德多项式得：
q L = P n ( x ; 0 ; q ) = 1 + q ( 1 − q ) 2 − q x ( 1 − q ) 2 − q 9 ( 1 − q ) 2 + x q 9 ( 1 − q ) 2 − 1 q 6 ( 1 − q ) 2 + x q 6 ( 1 − q ) 2 + q 2 ( 1 − q ) 2 − x q 2 ( 1 − q ) 2 + ( 1 − q − 7 ) ( 1 − q − 6 ) ( 1 − q 8 ) ( 1 − q 9 ) ( 1 − x ) ( 1 − q x ) q 2 ( 1 − q ) − 2 ( 1 − q 2 ) − 2 + ( 1 − q − 7 ) ( 1 − q − 6 ) ( 1 − q − 5 ) ( 1 − q 8 ) ( 1 − q 9 ) ( 1 − q 10 ) ( 1 − x ) ( 1 − q x ) ( 1 − x q 2 ) q 3 ( 1 − q ) − 2 ( 1 − q 2 ) − 2 ( 1 − q 3 ) − 2 + ( 1 − q − 7 ) ( 1 − q − 6 ) ( 1 − q − 5 ) ( 1 − q − 4 ) ( 1 − q 8 ) ( 1 − q 9 ) ( 1 − q 10 ) ( 1 − q 11 ) ( 1 − x ) ( 1 − q x ) ( 1 − x q 2 ) ( 1 − x q 3 ) q 4 ( 1 − q ) − 2 ( 1 − q 2 ) − 2 ( 1 − q 3 ) − 2 ( 1 − q 4 ) − 2 + ( 1 − q − 7 ) ( 1 − q − 6 ) ( 1 − q − 5 ) ( 1 − q − 4 ) ( 1 − q − 3 ) ( 1 − q 8 ) ( 1 − q 9 ) ( 1 − q 10 ) ( 1 − q 11 ) ( 1 − q 12 ) ( 1 − x ) ( 1 − q x ) ( 1 − x q 2 ) ( 1 − x q 3 ) ( 1 − x q 4 ) q 5 ( 1 − q ) − 2 ( 1 − q 2 ) − 2 ( 1 − q 3 ) − 2 ( 1 − q 4 ) − 2 ( 1 − q 5 ) − 2 + ( 1 − q − 7 ) ( 1 − q − 6 ) ( 1 − q − 5 ) ( 1 − q − 4 ) ( 1 − q − 3 ) ( 1 − q − 2 ) ( 1 − q 8 ) ( 1 − q 9 ) ( 1 − q 10 ) ( 1 − q 11 ) ( 1 − q 12 ) ( 1 − q 13 ) ( 1 − x ) ( 1 − q x ) ( 1 − x q 2 ) ( 1 − x q 3 ) ( 1 − x q 4 ) ( 1 − x q 5 ) q 6 ( 1 − q ) − 2 ( 1 − q 2 ) − 2 ( 1 − q 3 ) − 2 ( 1 − q 4 ) − 2 ( 1 − q 5 ) − 2 ( 1 − q 6 ) − 2 + ( 1 − q − 7 ) ( 1 − q − 6 ) ( 1 − q − 5 ) ( 1 − q − 4 ) ( 1 − q − 3 ) ( 1 − q − 2 ) ( 1 − q − 1 ) ( 1 − q 8 ) ( 1 − q 9 ) ( 1 − q 10 ) ( 1 − q 11 ) ( 1 − q 12 ) ( 1 − q 13 ) ( 1 − q 14 ) ( 1 − x ) ( 1 − q x ) ( 1 − x q 2 ) ( 1 − x q 3 ) ( 1 − x q 4 ) ( 1 − x q 5 ) ( 1 − x q 6 ) q 7 ( 1 − q ) − 2 ( 1 − q 2 ) − 2 ( 1 − q 3 ) − 2 ( 1 − q 4 ) − 2 ( 1 − q 5 ) − 2 ( 1 − q 6 ) − 2 ( 1 − q 7 ) − 2 {\displaystyle qL=P_{n}(x;0;q)=1+{\frac {q}{\left(1-q\right)^{2}}}-{\frac {qx}{\left(1-q\right)^{2}}}-{\frac {{q}^{9}}{\left(1-q\right)^{2}}}+{\frac {x{q}^{9}}{\left(1-q\right)^{2}}}-{\frac {1}{{q}^{6}\left(1-q\right)^{2}}}+{\frac {x}{{q}^{6}\left(1-q\right)^{2}}}+{\frac {{q}^{2}}{\left(1-q\right)^{2}}}-{\frac {x{q}^{2}}{\left(1-q\right)^{2}}}+\left(1-{q}^{-7}\right)\left(1-{q}^{-6}\right)\left(1-{q}^{8}\right)\left(1-{q}^{9}\right)\left(1-x\right)\left(1-qx\right){q}^{2}\left(1-q\right)^{-2}\left(1-{q}^{2}\right)^{-2}+\left(1-{q}^{-7}\right)\left(1-{q}^{-6}\right)\left(1-{q}^{-5}\right)\left(1-{q}^{8}\right)\left(1-{q}^{9}\right)\left(1-{q}^{10}\right)\left(1-x\right)\left(1-qx\right)\left(1-x{q}^{2}\right){q}^{3}\left(1-q\right)^{-2}\left(1-{q}^{2}\right)^{-2}\left(1-{q}^{3}\right)^{-2}+\left(1-{q}^{-7}\right)\left(1-{q}^{-6}\right)\left(1-{q}^{-5}\right)\left(1-{q}^{-4}\right)\left(1-{q}^{8}\right)\left(1-{q}^{9}\right)\left(1-{q}^{10}\right)\left(1-{q}^{11}\right)\left(1-x\right)\left(1-qx\right)\left(1-x{q}^{2}\right)\left(1-x{q}^{3}\right){q}^{4}\left(1-q\right)^{-2}\left(1-{q}^{2}\right)^{-2}\left(1-{q}^{3}\right)^{-2}\left(1-{q}^{4}\right)^{-2}+\left(1-{q}^{-7}\right)\left(1-{q}^{-6}\right)\left(1-{q}^{-5}\right)\left(1-{q}^{-4}\right)\left(1-{q}^{-3}\right)\left(1-{q}^{8}\right)\left(1-{q}^{9}\right)\left(1-{q}^{10}\right)\left(1-{q}^{11}\right)\left(1-{q}^{12}\right)\left(1-x\right)\left(1-qx\right)\left(1-x{q}^{2}\right)\left(1-x{q}^{3}\right)\left(1-x{q}^{4}\right){q}^{5}\left(1-q\right)^{-2}\left(1-{q}^{2}\right)^{-2}\left(1-{q}^{3}\right)^{-2}\left(1-{q}^{4}\right)^{-2}\left(1-{q}^{5}\right)^{-2}+\left(1-{q}^{-7}\right)\left(1-{q}^{-6}\right)\left(1-{q}^{-5}\right)\left(1-{q}^{-4}\right)\left(1-{q}^{-3}\right)\left(1-{q}^{-2}\right)\left(1-{q}^{8}\right)\left(1-{q}^{9}\right)\left(1-{q}^{10}\right)\left(1-{q}^{11}\right)\left(1-{q}^{12}\right)\left(1-{q}^{13}\right)\left(1-x\right)\left(1-qx\right)\left(1-x{q}^{2}\right)\left(1-x{q}^{3}\right)\left(1-x{q}^{4}\right)\left(1-x{q}^{5}\right){q}^{6}\left(1-q\right)^{-2}\left(1-{q}^{2}\right)^{-2}\left(1-{q}^{3}\right)^{-2}\left(1-{q}^{4}\right)^{-2}\left(1-{q}^{5}\right)^{-2}\left(1-{q}^{6}\right)^{-2}+\left(1-{q}^{-7}\right)\left(1-{q}^{-6}\right)\left(1-{q}^{-5}\right)\left(1-{q}^{-4}\right)\left(1-{q}^{-3}\right)\left(1-{q}^{-2}\right)\left(1-{q}^{-1}\right)\left(1-{q}^{8}\right)\left(1-{q}^{9}\right)\left(1-{q}^{10}\right)\left(1-{q}^{11}\right)\left(1-{q}^{12}\right)\left(1-{q}^{13}\right)\left(1-{q}^{14}\right)\left(1-x\right)\left(1-qx\right)\left(1-x{q}^{2}\right)\left(1-x{q}^{3}\right)\left(1-x{q}^{4}\right)\left(1-x{q}^{5}\right)\left(1-x{q}^{6}\right){q}^{7}\left(1-q\right)^{-2}\left(1-{q}^{2}\right)^{-2}\left(1-{q}^{3}\right)^{-2}\left(1-{q}^{4}\right)^{-2}\left(1-{q}^{5}\right)^{-2}\left(1-{q}^{6}\right)^{-2}\left(1-{q}^{7}\right)^{-2}}
q L 2 = lim q → 1 q L = − 1 + 56 x + 3432 x 7 − 12012 x 6 + 16632 x 5 − 11550 x 4 + 4200 x 3 − 756 x 2 {\displaystyle qL2=\lim _{q\to 1}qL=-1+56\,x+3432\,{x}^{7}-12012\,{x}^{6}+16632\,{x}^{5}-11550\,{x}^{4}+4200\,{x}^{3}-756\,{x}^{2}} 另7阶勒让德多项式：
P 7 ( 2 x − 1 ) = − 1 + 56 x + 3432 x 7 − 12012 x 6 + 16632 x 5 − 11550 x 4 + 4200 x 3 − 756 x 2 {\displaystyle P_{7}(2x-1)=-1+56\,x+3432\,{x}^{7}-12012\,{x}^{6}+16632\,{x}^{5}-11550\,{x}^{4}+4200\,{x}^{3}-756\,{x}^{2}} 显然qL2=P_7(2x-1) QED.
下列复数域三阶大q勒让德多项式: P n 3 ( x + i y ; − 1.5 ; q ) {\displaystyle \displaystyle P_{n}3(x+iy;-1.5;q)}
一组三个虚数部、实数部与绝对值的复数三维动画图，以q为可变参数
一组三个虚数部、实数部与绝对值的复数密度动画图
BIG Q-LEGENDER ABS COMPLEX 3D MAPLE PLOT BIG Q-LEGENDER IM COMPLEX 3D MAPLE PLOT BIG Q-LEGENDER RE COMPLEX 3D MAPLE PLOT
BIG Q-LEGENDER ABS DENSITY MAPLE PLOT BIG Q-LEGENDER IM DENSITY MAPLE PLOT BIG Q-LEGENDER RE DENSITY MAPLE PLOT
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^ Roelof p443 
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