環索線 - 维基百科，自由的百科全书

环索线（strophoid）是几何学中的一種曲線，由給定曲線C、點A（固定點）及點O（極點），依以下方式產生：令L是通過O，和曲線C的交點為K的變動直線。令P₁和P₂是直線L上的兩點，這兩點和K的距離和A到K的距離相同（因此A、P₁、P₂在圓心為O為圓上）。P₁、P₂的轨迹即為曲線C的环索线，相對於極點O及固定點A。 其中AP₁和AP₂會呈直角。

若C是直線，A在C上，而O不在C上，此曲線稱為斜環索線（oblique strophoid）。若OA和C垂直，此曲線則稱為正環索線（right strophoid），正環索線也稱為logocyclic curve或葉狀線（foliate）。

方程式[编辑]

極坐標[编辑]

令曲線C的極坐標方程為${\displaystyle r=f(\theta )}$，其中原點為O，令A的直角坐標為(a, b)，若${\displaystyle K=(r\cos \theta ,\ r\sin \theta )}$是曲線上的一點，K到A的距離為

${\displaystyle d={\sqrt {(r\cos \theta -a)^{2}+(r\sin \theta -b)^{2}}}={\sqrt {(f(\theta )\cos \theta -a)^{2}+(f(\theta )\sin \theta -b)^{2}}}}$.

在OK線上的點，其極座標角度為${\displaystyle \theta }$，線上和點K距離為d的點，和原點的距離為${\displaystyle f(\theta )\pm d}$。因此，環索線的方程如下

${\displaystyle r=f(\theta )\pm {\sqrt {(f(\theta )\cos \theta -a)^{2}+(f(\theta )\sin \theta -b)^{2}}}}$

另一種極座標公式[编辑]

若C是極點為O和A的麥克勞林分角線（英语：sectrix of Maclaurin）時，可以用以下的極座標公式。

令O為原點，A為點(a, 0)，令K為曲線上一點，線OK和X軸的夾角為${\displaystyle \theta }$，而 ${\displaystyle \vartheta }$是線AK和和X軸的夾角。假設${\displaystyle \vartheta }$可以表示為${\displaystyle \theta }$的函數，假設${\displaystyle \vartheta =l(\theta )}$。令${\displaystyle \psi }$是K的角度，則${\displaystyle \psi =\vartheta -\theta }$。可以用正弦定律，將r用l來表示。因為

${\displaystyle {r \over \sin \vartheta }={a \over \sin \psi },\ r=a{\frac {\sin \vartheta }{\sin \psi }}=a{\frac {\sin l(\theta )}{\sin(l(\theta )-\theta )}}}$。

令P₁和P₂是OK線上和K點的距離等於AK的點，調整編號使${\displaystyle \psi =\angle P_{1}KA}$，且${\displaystyle \pi -\psi =\angle AKP_{2}}$。${\displaystyle \triangle P_{1}KA}$是頂角為${\displaystyle \psi }$的等腰三角形，剩下的兩角${\displaystyle \angle AP_{1}K}$和${\displaystyle \angle KAP_{1}}$角度為${\displaystyle (\pi -\psi )/2}$。AP₁線和x軸角度為

${\displaystyle l_{1}(\theta )=\vartheta +\angle KAP_{1}=\vartheta +(\pi -\psi )/2=\vartheta +(\pi -\vartheta +\theta )/2=(\vartheta +\theta +\pi )/2}$。

同理可得AP₂和x軸的角度為

${\displaystyle l_{2}(\theta )=(\vartheta +\theta )/2}$.

環索線的極座標式可以表示以下有l₁及l₂的式子：

${\displaystyle r_{1}=a{\frac {\sin l_{1}(\theta )}{\sin(l_{1}(\theta )-\theta )}}=a{\frac {\sin((l(\theta )+\theta +\pi )/2)}{\sin((l(\theta )+\theta +\pi )/2-\theta )}}=a{\frac {\cos((l(\theta )+\theta )/2)}{\cos((l(\theta )-\theta )/2)}}}$

${\displaystyle r_{2}=a{\frac {\sin l_{2}(\theta )}{\sin(l_{2}(\theta )-\theta )}}=a{\frac {\sin((l(\theta )+\theta )/2)}{\sin((l(\theta )+\theta )/2-\theta )}}=a{\frac {\sin((l(\theta )+\theta )/2)}{\sin((l(\theta )-\theta )/2)}}}$

若l是${\displaystyle q\theta +\theta _{0}}$，曲線C是極點為O和A的麥克勞林分角線，此時，l₁和l₂會有相同的型式，因此環索線可以是另一個麥克勞林分角線，或是一對這類的曲線。若原點往右移a的位置，也會有較簡單的極座標方程。

特例[编辑]

斜環索線[编辑]

令C是通過A點的直線。依照上式的表示法，${\displaystyle l(\theta )=\alpha }$，其中${\displaystyle \alpha }$為常數，則${\displaystyle l_{1}(\theta )=(\theta +\alpha +\pi )/2}$且${\displaystyle l_{2}(\theta )=(\theta +\alpha )/2}$。相對原點O點環索線的極座標（斜環索線）方程為

${\displaystyle r=a{\frac {\cos((\alpha +\theta )/2)}{\cos((\alpha -\theta )/2)}}}$

以及

${\displaystyle r=a{\frac {\sin((\alpha +\theta )/2)}{\sin((\alpha -\theta )/2)}}}$.

可以確定上式二式描述的是同一條直線。

將原點移到A點，用−a代替a，可得

${\displaystyle r=a{\frac {\sin(2\theta -\alpha )}{\sin(\theta -\alpha )}}}$,

旋轉角度${\displaystyle \alpha }$後可得

${\displaystyle r=a{\frac {\sin(2\theta +\alpha )}{\sin(\theta )}}}$.

在直角坐標系，調整常數的參數，可得

${\displaystyle y(x^{2}+y^{2})=b(x^{2}-y^{2})+2cxy}$.

是三次曲線，在極座標下是有理函數，其叉點在(0, 0)，漸近線為直線y=b。

正環索線[编辑]

將${\displaystyle \alpha =\pi /2}$代入下式

${\displaystyle r=a{\frac {\sin(2\theta -\alpha )}{\sin(\theta -\alpha )}}}$

可得

${\displaystyle r=a{\frac {\cos 2\theta }{\cos \theta }}=a(2\cos \theta -\sec \theta )}$.

此即為正環索線，對應直線C為y軸，A點為原點，O點為點(a,0)的情形。

笛卡尔坐标系方程為

${\displaystyle y^{2}=x^{2}(a-x)/(a+x)}$.

此曲線為笛卡儿叶形线^[1]，直線x = −a是二個分支的渐近线。此曲線還有二條漸近線，分別是複數平面上的

${\displaystyle x\pm iy=-a}$。

圓[编辑]

令圓C是通過O和A的圓，其中O為原點，A的座標為(a, 0)。依以上的表示法，${\displaystyle l(\theta )=\alpha +\theta }$，其中${\displaystyle \alpha }$是常數。則${\displaystyle l_{1}(\theta )=\theta +(\alpha +\pi )/2}$以及${\displaystyle l_{2}(\theta )=\theta +\alpha /2}$，所得相對於圓O環索線（oblique strophoid）的極座標方程為

${\displaystyle r=a{\frac {\cos(\theta +\alpha /2)}{\cos(\alpha /2)}}}$

及

${\displaystyle r=a{\frac {\sin(\theta +\alpha /2)}{\sin(\alpha /2)}}}$.

這是二個通過O和A，在C點形成角度${\displaystyle \pi /4}$的圓。

相關條目[编辑]

• 蚌线
• 蔓叶线

參考資料[编辑]

• J. Dennis Lawrence. A catalog of special plane curves. Dover Publications. 1972: 51–53,95,100–104,175. ISBN 0-486-60288-5.  含有內容需登入查看的頁面 (link)
• E. H. Lockwood. Strophoids. A Book of Curves. Cambridge, England: Cambridge University Press. 1961: 134–137. ISBN 0-521-05585-7. 
• R. C. Yates. Strophoids. A Handbook on Curves and Their Properties. Ann Arbor, MI: J. W. Edwards. 1952: 217–220. 
• 埃里克·韦斯坦因. Strophoid. MathWorld. 
• 埃里克·韦斯坦因. Right Strophoid. MathWorld. 
• Sokolov, D.D., Strophoid, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• 約翰·J·奧康納; 埃德蒙·F·羅伯遜（英语：Edmund F. Robertson）, Right Strophoid, MacTutor数学史档案 （英语） 

外部連結[编辑]

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