直言三段论 是所有前提 都是直言命题 的演绎推理 。
例子:
所有動物都會死。 所有人都是動物。 所以,所有人都會死。 前兩個命題 被分别称为大前提 和小前提 [1] 。如果這個三段論是有效的 ,這兩個前提邏輯上蘊含了最後的命題,它叫做結論 。結論的真實性建立在前提的真實性和它們之間的聯繫之上:中項 在前提中必須周延 (distribute)至少一次,形成在結論中的主詞和謂词之間的連接。即使直言三段論 是有效的,但如果有前提為假的話結論仍可能是假,例如以下的三段論:
所有的魚都在水裡游。 烏鴉是魚。 所以,所有的烏鴉都在水裡游。 此為第一格AAA三段論,為有效,但是因為前提是錯的(烏鴉事實上不是魚),因而導致結論為假。
语气和格式 [ 编辑 ] 對立四邊形 圖,揭示傳統邏輯四種命題語氣的關係(紅色表示非空,黑色表示空) 三段論形式如下:
大前提:所有M是P 小前提:所有S是M 結論:所有S是P 其中S代表結論的主詞 (S ubject),P代表結論的謂詞 (P redicate),M代表中詞(M iddle)。
三段論的命題可分為全称 (universal)、特称 (particular),及肯定、否定,組合起來有以下四類語氣 (Mood):
類型 代號 形式 範例 全稱肯定型 A(SaP) 所有S是P 所有人是會死的 全稱否定型 E(SeP) 沒有S是P 沒有人是完美的 特稱肯定型 I(SiP) 有些S是P 有些人是健康的 特稱否定型 O(SoP) 有些S不是P 有些人不是健康的
三段論中,結論中的謂詞稱作大詞 (P,或稱大項),包含大詞在內的前提稱作大前提 ;結論中的主詞稱作小詞 (S,或稱小項),包含小詞在內的前提稱作小前提 ;沒有出現在結論,卻在兩個前提重複出現的稱作中詞 (M,或稱中項)。大詞、中詞、小詞依不同排列方式,可分成四種格 (Figure):
第1格 第2格 第3格 第4格 大前提 M-P P-M M-P P-M 小前提 S-M S-M M-S M-S 結論 S-P S-P S-P S-P
將以上整合在一起,三段論的大前提、小前提、結論分別可為A、E、I、O型命題之一,又可分為4格,故總共有256種三段論(若考慮大前提與小前提對調,便有512種,但邏輯上是相同的)。
三段論依語氣與格的分類縮寫,例如AAA-1 (也可以寫成1-AAA )代表「大前提為A 型,小前提為A 型,結論為A 型,第1 格」的三段論。
此外,三段論的四種格之间可相互转换:
第1格:对换大前提的前后两项的位置就变成第2格,对换小前提的前后两项的位置就变成第3格。 第2格:对换大前提的前后两项的位置就变成第1格,对换小前提的前后两项的位置就变成第4格。 第3格:对换大前提的前后两项的位置就变成第4格,对换小前提的前后两项的位置就变成第1格。 第4格:对换大前提的前后两项的位置就变成第3格,对换小前提的前后两项的位置就变成第2格。 E和I命题对换前后两项的位置而保持同原命题等价。A命题不能对换前后两项的位置,但可以在前项确实有元素存在的前提下,转换成弱于原命题的I命题(E命题亦可在后项确实有元素存在的前提下,转换成弱于原命题的O命题)。O命题不能对换前后两项的位置。
有效性 [ 编辑 ] 考虑各种直言三段论的有效性將是非常冗长耗時的。幸运的是前人想出了三个可供选择的方法来找出有效性。方法之一是记住下一章节中列出的所有論式。
還可以通过构造文氏图 的方法得到有效形式。因为有三种项,文氏图需要三个交叠的圓圈来表示每一个类。首先,为小项构造一个圓圈。临近小项的圓圈的是同小項有着交叠的大项的圓圈。在这两个圓圈之上是中项的圓圈。它应当在三个位置有着交叠:大项,小项和大项与小项交叠的地方。一個三段论是有效的,其必然条件是通过图解两个前提得出结论的真实性。永不图解结论,因为结论必须从前提推导出来。总是首先图解全称命题。这是通过对一个类在另一个类中没有成员的区域加黑影来实现的。所以在前面例子的AAA-1形式中大前提“所有M是P”中,对M不与P交叠的所有区域加黑影,包括M与S交叠的部分。接着对小前提重复同样的过程。从这两个前提中可推导出在类S中所有成员也是类P的成员。但是,不能推出类P的所有成员都是类S的成员。
作为文氏圖方法的另一个例子,考虑形式EIO-1的三段论。它的大前提是“没有M是P”,它的小前提是“有些S是M”,它的结论是“有些S不是P”。这个三段论的大项是P;它的小项是S,它的中项是M。大前提在图中通过对交集M ∩ P加阴影表示。小前提不能通过对任何区域加黑影表示。转而,我们可以在交集S ∩ M的非黑影部分使用x 符号来表示“有些S是M”。(注意:黑影区域和存在量化 区域是互斥的)。接着因为存在符号位于S内但在P外,所以结论“存在一些S不是P”是正确的。
本文最後一節列出了所有24個有效論式的文氏圖。
最后一种方法是记住下面非形式表述的幾條规则以避免謬論 。尽管文氏图对于诠释目的是好工具,有人更喜欢用這些规则来检验有效性。
基本規則:
結論中周延 的詞必須在前提中周延 (謬誤:大詞不當 、小詞不當 )(若不能確定所有提及的集合非空,則一個項在結論中周延,若且唯若 該項在前提中周延) 中詞必須周延 至少一次(謬誤:中詞不周延 )(若不能確定所有提及的集合非空,則中詞必須剛好周延一次) 結論中否定命題的數目必須和前提中否定命題的數目相等: 二前提皆肯定,則結論必須為肯定(謬誤:肯定前提推得否定結論 ) 一前提是否定,則結論必須為否定(謬誤:否定前提推得肯定結論 ) 二前提皆否定,則三段論必無效(謬誤:排它前提謬誤 ) 結論中特稱命題的數目必須和前提中特稱命題的數目相等: 二前提皆全稱,則結論必須為全稱(此條件適用於不能確定所有提及的集合非空的情況) 一前提是特稱,則結論必須為特稱 二前提皆特稱,則三段論必無效 若一個三段論式滿足以上的所有規則,就必定有效。
其他檢查:
如果語境上不能假設所有提及的集合非空 ,部分推論將會無效(謬誤:存在謬誤 ) 必須包含嚴格的三個詞,不多不少。且須注意所有關鍵詞和結構的語義是否一致(謬誤:四詞謬誤 、歧義謬誤 ) 有效三段論式 [ 编辑 ] 加下劃線者必須假設所有提及的集合非空才有效。
唯有第一格的所有有效三段論式的結論涵蓋了AEIO全部四種命題,第二格的所有有效三段論式皆為否定結論(E或O),第三格的所有有效三段論式皆為特稱結論(I或O),第四格的所有有效三段論式皆為否定結論或特稱結論(E、I或O)。
第1格 第2格 第3格 第4格 AAA AEE AA I AAI EAE EAE EA O EA O AII AOO AII AEE EIO EIO EIO EIO AAI AEO IAI IAI EAO EAO OAO AEO
在全部256種三段論式中,有24種有效,但是如果不能確定所有提及的集合為非空,則只有15種有效。
常犯的無效三段論式 [ 编辑 ] 1-AEE, 1-AEO, 1-EEA, 1-EEE, 1-EEI, 1-AIA, 1-IAA, 1-IAI, 1-III, 1-AOO, 1-OAO, 1-IEO 2-AAA, 2-AAI, 2-AII, 2-IAI, 2-OAO, 2-IEO, 2-EOI, 2-OEI, 2-IOO, 2-OIO 3-AAA, 3-AEE, 3-EAE, 3-AEO, 3-AOO, 3-AIA, 3-IAA, 3-III, 3-EOI, 3-OEI, 3-IEO 4-AAA, 4-EAE, 4-AII, 4-IEO 三段论式列表 [ 编辑 ] 总共有19个有效的论式,算结论弱化(全称弱化为特称)的5个论式則為24個有效论式,其中每一格刚好各有6個有效论式。為便於記憶,中世纪的学者將這些有效論式分別取了對應的拉丁語 名字,每個名字的加了下劃線的元音 即是對應的語氣:
第1格 第2格 第3格 第4格 Ba rba ra Ca me stre s Da ra p ti Ba ma li p Ce la re nt Ce sa re Fe la p to n Fe sa p o Da rii Ba ro co Da ti si Ca le me s Fe rio Fe sti no Fe ri so n Fre si so n Ba rba ri Ca me stro s Di sa mi s Di ma ri s Ce la ro nt Ce sa ro Bo ca rdo Ca le mo s
经典三段论式 [ 编辑 ] 下面列出的是亚里士多德 的《前分析篇 》中关于前3个格的14个三段论式。
第1格 [ 编辑 ] 所有M是P。 所有S是M。 ∴ 所有S是P。
∀ x ( M ( x ) → P ( x ) ) ∀ x ( S ( x ) → M ( x ) ) ∀ x ( S ( x ) → P ( x ) ) {\displaystyle {\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow P(x))\qquad \forall x(S(x)\rightarrow M(x))}{\forall x(S(x)\rightarrow P(x))}}}
没有M是P。 所有S是M。 ∴ 没有S是P。
∀ x ( M ( x ) → ¬ P ( x ) ) ∀ x ( S ( x ) → M ( x ) ) ∀ x ( S ( x ) → ¬ P ( x ) ) {\displaystyle {\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))\quad \forall x(S(x)\rightarrow M(x))}{\forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))}}}
所有M是P。 有些S是M。 ∴ 有些S是P。
∀ x ( M ( x ) → P ( x ) ) ∃ x ( S ( x ) ∧ M ( x ) ) ∃ x ( S ( x ) ∧ P ( x ) ) {\displaystyle {\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow P(x))\qquad \exists x(S(x)\land M(x))}{\exists x(S(x)\land P(x))}}}
没有M是P。 有些S是M。 ∴ 有些S不是P。
∀ x ( M ( x ) → ¬ P ( x ) ) ∃ x ( S ( x ) ∧ M ( x ) ) ∃ x ( S ( x ) ∧ ¬ P ( x ) ) {\displaystyle {\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))\quad \exists x(S(x)\land M(x))}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}
第2格 [ 编辑 ] 所有P是M。 没有S是M。 ∴ 没有S是P。
∀ x ( P ( x ) → M ( x ) ) ∀ x ( S ( x ) → ¬ M ( x ) ) ∀ x ( M ( x ) → ¬ S ( x ) ) ∀ x ( M ( x ) → ¬ S ( x ) ) ∀ x ( P ( x ) → M ( x ) ) ∀ x ( P ( x ) → ¬ S ( x ) ) ∀ x ( S ( x ) → ¬ P ( x ) ) {\displaystyle {\cfrac {\cfrac {{\begin{matrix}\quad \\\forall x(P(x)\rightarrow M(x))\end{matrix}}\qquad {\cfrac {\forall x(S(x)\rightarrow \lnot M(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow \lnot S(x))}}}{\forall x(M(x)\rightarrow \lnot S(x))\qquad \forall x(P(x)\rightarrow M(x))}}{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot S(x))}{\forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))}}}}
(这种形式还有其他推导方法。)[2]
没有P是M。 所有S是M。 ∴ 没有S是P。
∀ x ( P ( x ) → ¬ M ( x ) ) ∀ x ( M ( x ) → ¬ P ( x ) ) ∀ x ( S ( x ) → M ( x ) ) ∀ x ( S ( x ) → ¬ P ( x ) ) {\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot M(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))}}\qquad {\begin{matrix}\quad \\\forall x(S(x)\rightarrow M(x))\end{matrix}}}{\forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))}}}
所有P是M。 有些S不是M。 ∴ 有些S不是P。
∀ x ( P ( x ) → M ( x ) ) ∀ x ( P ( x ) → ¬ ( ¬ M ( x ) ) ) ∀ x ( ( ¬ M ( x ) ) → ¬ P ( x ) ) ∃ x ( S ( x ) ∧ ¬ M ( x ) ) ∃ x ( S ( x ) ∧ ( ¬ M ( x ) ) ) ∃ x ( S ( x ) ∧ ¬ P ( x ) ) {\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow M(x))}{\forall x(P(x)\rightarrow \lnot (\lnot M(x)))}}{\forall x((\lnot M(x))\rightarrow \lnot P(x))}}\quad {\cfrac {\exists x(S(x)\land \lnot M(x))}{\exists x(S(x)\land (\lnot M(x)))}}}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}
(这种形式还有其他推导方法。)[3]
没有P是M。 有些S是M。 ∴ 有些S不是P。
∀ x ( P ( x ) → ¬ M ( x ) ) ∀ x ( M ( x ) → ¬ P ( x ) ) ∃ x ( S ( x ) ∧ M ( x ) ) ∃ x ( S ( x ) ∧ ¬ P ( x ) ) {\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot M(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))}}\qquad {\begin{matrix}\quad \\\exists x(S(x)\land M(x))\end{matrix}}}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}
第3格 [ 编辑 ] 所有M是P。 所有M是S。 ∴ 有些S是P。 (这种形式需要假定有些M确实存在。)[4]
∀ x ( M ( x ) → P ( x ) ) ∀ x ( M ( x ) → S ( x ) ) ∃ x M ( x ) ∃ x ( M ( x ) ∧ M ( x ) ) ∃ x ( M ( x ) ∧ S ( x ) ) ∃ x ( S ( x ) ∧ M ( x ) ) ∃ x ( S ( x ) ∧ P ( x ) ) {\displaystyle {\cfrac {{\begin{matrix}\quad \\\quad \\\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow P(x))\end{matrix}}\ {\cfrac {{\begin{matrix}\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow S(x))\end{matrix}}\quad {\cfrac {\exists xM(x)}{\exists x(M(x)\land M(x))}}}{\cfrac {\exists x(M(x)\land S(x))}{\exists x(S(x)\land M(x))}}}}{\exists x(S(x)\land P(x))}}}
没有M是P。 所有M是S。 ∴ 有些S不是P。 (这种形式需要假定有些M确实存在。)[5]
∀ x ( M ( x ) → ¬ P ( x ) ) ∀ x ( M ( x ) → S ( x ) ) ∃ x M ( x ) ∃ x ( M ( x ) ∧ M ( x ) ) ∃ x ( M ( x ) ∧ S ( x ) ) ∃ x ( S ( x ) ∧ M ( x ) ) ∃ x ( S ( x ) ∧ ¬ P ( x ) ) {\displaystyle {\cfrac {{\begin{matrix}\quad \\\quad \\\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))\end{matrix}}\,{\cfrac {{\begin{matrix}\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow S(x))\end{matrix}}\quad {\cfrac {\exists xM(x)}{\exists x(M(x)\land M(x))}}}{\cfrac {\exists x(M(x)\land S(x))}{\exists x(S(x)\land M(x))}}}}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}
所有M是P。 有些M是S。 ∴ 有些S是P。
∀ x ( M ( x ) → P ( x ) ) ∃ x ( M ( x ) ∧ S ( x ) ) ∃ x ( S ( x ) ∧ M ( x ) ) ∃ x ( S ( x ) ∧ P ( x ) ) {\displaystyle {\cfrac {{\begin{matrix}\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow P(x))\end{matrix}}\qquad {\cfrac {\exists x(M(x)\land S(x))}{\exists x(S(x)\land M(x))}}}{\exists x(S(x)\land P(x))}}}
没有M是P。 有些M是S。 ∴ 有些S不是P。
∀ x ( M ( x ) → ¬ P ( x ) ) ∃ x ( M ( x ) ∧ S ( x ) ) ∃ x ( S ( x ) ∧ M ( x ) ) ∃ x ( S ( x ) ∧ ¬ P ( x ) ) {\displaystyle {\cfrac {{\begin{matrix}\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))\end{matrix}}\quad {\cfrac {\exists x(M(x)\land S(x))}{\exists x(S(x)\land M(x))}}}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}
有些M是P。 所有M是S。 ∴ 有些S是P。
∃ x ( M ( x ) ∧ P ( x ) ) ∃ x ( P ( x ) ∧ M ( x ) ) ∀ x ( M ( x ) → S ( x ) ) ∀ x ( M ( x ) → S ( x ) ) ∃ x ( P ( x ) ∧ M ( x ) ) ∃ x ( P ( x ) ∧ S ( x ) ) ∃ x ( S ( x ) ∧ P ( x ) ) {\displaystyle {\cfrac {\cfrac {{\cfrac {\exists x(M(x)\land P(x))}{\exists x(P(x)\land M(x))}}\qquad {\begin{matrix}\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow S(x))\end{matrix}}}{\forall x(M(x)\rightarrow S(x))\qquad \exists x(P(x)\land M(x))}}{\cfrac {\exists x(P(x)\land S(x))}{\exists x(S(x)\land P(x))}}}}
有些M不是P。 所有M是S。 ∴ 有些S不是P。
∃ x ( M ( x ) ∧ ¬ P ( x ) ) ∃ x ( ( ¬ P ( x ) ) ∧ M ( x ) ) ∀ x ( M ( x ) → S ( x ) ) ∀ x ( M ( x ) → S ( x ) ) ∃ x ( ( ¬ P ( x ) ) ∧ M ( x ) ) ∃ x ( ( ¬ P ( x ) ) ∧ S ( x ) ) ∃ x ( S ( x ) ∧ ¬ P ( x ) ) {\displaystyle {\cfrac {\cfrac {{\cfrac {\exists x(M(x)\land \lnot P(x))}{\exists x((\lnot P(x))\land M(x))}}\quad {\begin{matrix}\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow S(x))\end{matrix}}}{\forall x(M(x)\rightarrow S(x))\quad \exists x((\lnot P(x))\land M(x))}}{\cfrac {\exists x((\lnot P(x))\land S(x))}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}}
增补的论式 [ 编辑 ] 第4格由亞里士多德的學生泰奧弗拉斯托斯 補充[6] 。
第4格 [ 编辑 ] 所有P是M。 所有M是S。 ∴ 有些S是P。 (这种形式需要假定有些P确实存在。)[7]
∀ x ( P ( x ) → M ( x ) ) ∀ x ( M ( x ) → S ( x ) ) ∀ x ( M ( x ) → S ( x ) ) ∀ x ( P ( x ) → M ( x ) ) ∀ x ( P ( x ) → S ( x ) ) ∃ x P ( x ) ∃ x ( P ( x ) ∧ P ( x ) ) ∃ x ( P ( x ) ∧ S ( x ) ) ∃ x ( S ( x ) ∧ P ( x ) ) {\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow M(x))\qquad \forall x(M(x)\rightarrow S(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow S(x))\qquad \forall x(P(x)\rightarrow M(x))}}{\forall x(P(x)\rightarrow S(x))}}\quad {\cfrac {\exists xP(x)}{\exists x(P(x)\land P(x))}}}{\cfrac {\exists x(P(x)\land S(x))}{\exists x(S(x)\land P(x))}}}}
没有P是M。 所有M是S。 ∴ 有些S不是P。 (这种形式需要假定有些M确实存在。)[8]
∀ x ( P ( x ) → ¬ M ( x ) ) ∀ x ( M ( x ) → ¬ P ( x ) ) ∀ x ( M ( x ) → S ( x ) ) ∃ x M ( x ) ∃ x ( M ( x ) ∧ M ( x ) ) ∃ x ( M ( x ) ∧ S ( x ) ) ∃ x ( S ( x ) ∧ M ( x ) ) ∃ x ( S ( x ) ∧ ¬ P ( x ) ) {\displaystyle {\cfrac {{\begin{matrix}\quad \\\quad \\{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot M(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))}}\end{matrix}}\,{\cfrac {{\begin{matrix}\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow S(x))\end{matrix}}\quad {\cfrac {\exists xM(x)}{\exists x(M(x)\land M(x))}}}{\cfrac {\exists x(M(x)\land S(x))}{\exists x(S(x)\land M(x))}}}}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}
所有P是M。 没有M是S。 ∴ 没有S是P。
∀ x ( P ( x ) → M ( x ) ) ∀ x ( M ( x ) → ¬ S ( x ) ) ∀ x ( M ( x ) → ¬ S ( x ) ) ∀ x ( P ( x ) → M ( x ) ) ∀ x ( P ( x ) → ¬ S ( x ) ) ∀ x ( S ( x ) → ¬ P ( x ) ) {\displaystyle {\cfrac {\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow M(x))\qquad \forall x(M(x)\rightarrow \lnot S(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow \lnot S(x))\qquad \forall x(P(x)\rightarrow M(x))}}{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot S(x))}{\forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))}}}}
没有P是M。 有些M是S。 ∴ 有些S不是P。
∀ x ( P ( x ) → ¬ M ( x ) ) ∀ x ( M ( x ) → ¬ P ( x ) ) ∃ x ( M ( x ) ∧ S ( x ) ) ∃ x ( S ( x ) ∧ M ( x ) ) ∃ x ( S ( x ) ∧ ¬ P ( x ) ) {\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot M(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))}}\qquad {\cfrac {\exists x(M(x)\land S(x))}{\exists x(S(x)\land M(x))}}}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}
有些P是M。 所有M是S。 ∴ 有些S是P。
∃ x ( P ( x ) ∧ M ( x ) ) ∀ x ( M ( x ) → S ( x ) ) ∀ x ( M ( x ) → S ( x ) ) ∃ x ( P ( x ) ∧ M ( x ) ) ∃ x ( P ( x ) ∧ S ( x ) ) ∃ x ( S ( x ) ∧ P ( x ) ) {\displaystyle {\cfrac {\cfrac {\exists x(P(x)\land M(x))\qquad \forall x(M(x)\rightarrow \ S(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow \ S(x))\qquad \exists x(P(x)\land M(x))}}{\cfrac {\exists x(P(x)\land S(x))}{\exists x(S(x)\land P(x))}}}}
结论弱化的论式 [ 编辑 ] 在假定结论的主词确定有成员存在的前提下,可弱化论式中的结论A为I,结论E为O,它们也可以被增补为有效论式,从而得到所有可能的24有效论式。它们是:AAI-1 (Barbari),即弱化的AAA-1;EAO-1 (Celaront),即弱化的EAE-1;AEO-2 (Camestros),即弱化的AEE-2;EAO-2 (Cesaro),即弱化的EAE-2;AEO-4 (Calemos),即弱化的AEE-4。
对附加的谓词演算公式的注解 [ 编辑 ] 按照布尔逻辑 和集合代数 的观点,三段论可以解释为:集合 (类 ) S {\displaystyle \,S\,} 和集合 M {\displaystyle \,M\,} 有某种二元关系 ,并且集合 M {\displaystyle \,M\,} 和集合 P {\displaystyle \,P\,} 有某种二元关系,从而推论出集合 S {\displaystyle \,S\,} 和集合 P {\displaystyle \,P\,} 是否存在进而为何种可确定的二元关系。两个集合之间的二元关系用直言命题可确定的有四种:
A(全称肯定)命题:所有 M {\displaystyle \,M\,} 是 N {\displaystyle \,N\,} ,确定了 M {\displaystyle \,M\,} “包含 于” N {\displaystyle \,N\,} 的关系, M {\displaystyle \,M\,} 是 N {\displaystyle \,N\,} 的子集 , N {\displaystyle \,N\,} 是 M {\displaystyle \,M\,} 的超集 ,这是一种偏序关系 ,所有 L {\displaystyle \,L\,} 是 M {\displaystyle \,M\,} ,並且所有 M {\displaystyle \,M\,} 是 N {\displaystyle \,N\,} ,則所有 L {\displaystyle \,L\,} 是 N {\displaystyle \,N\,} 。所有 M {\displaystyle \,M\,} 是 N {\displaystyle \,N\,} ,並且所有 N {\displaystyle \,N\,} 是 M {\displaystyle \,M\,} ,則 M {\displaystyle \,M\,} 同於 N {\displaystyle \,N\,} 。 E(全称否定)命题:所有 M {\displaystyle \,M\,} 不是 N {\displaystyle \,N\,} ,确定了 M {\displaystyle \,M\,} 和 N {\displaystyle \,N\,} 是“无交集 ”的关系,这是一种对称关系 ,所有 M {\displaystyle \,M\,} 不是 N {\displaystyle \,N\,} ,同于所有 N {\displaystyle \,N\,} 不是 M {\displaystyle \,M\,} 。( L {\displaystyle \,L\,} 与 M {\displaystyle \,M\,} 无交集,并且 M {\displaystyle \,M\,} 与 N {\displaystyle \,N\,} 无交集,不能推出 L {\displaystyle \,L\,} 与 N {\displaystyle \,N\,} 无交集)。 I(特称肯定)命题:有些 M {\displaystyle \,M\,} 是 N {\displaystyle \,N\,} ,确定了 M {\displaystyle \,M\,} 和 N {\displaystyle \,N\,} 是“有交集 ”的关系,这是一种对称关系 ,有些 M {\displaystyle \,M\,} 是 N {\displaystyle \,N\,} ,同于有些 N {\displaystyle \,N\,} 是 M {\displaystyle \,M\,} 。( L {\displaystyle \,L\,} 与 M {\displaystyle \,M\,} 有交集,并且 M {\displaystyle \,M\,} 与 N {\displaystyle \,N\,} 有交集,不能推出 L {\displaystyle \,L\,} 与 N {\displaystyle \,N\,} 有交集)。 O(特称否定)命题:有些 M {\displaystyle \,M\,} 不是 N {\displaystyle \,N\,} ,确定了 M {\displaystyle \,M\,} “不包含 于” N {\displaystyle \,N\,} 的关系。( M {\displaystyle \,M\,} 不包含于 N {\displaystyle \,N\,} ,不能推出 M {\displaystyle \,M\,} 包含 N {\displaystyle \,N\,} )。 将参与推理的命题分为两类:规则 和事实 ,全称命题是规则,而特称命题只陈述事实:
A命题:所有 M {\displaystyle \,M\,} 是 N {\displaystyle \,N\,} ,它允许两个推理方向,从肯定的 M {\displaystyle \,M\,} 推出肯定的 N {\displaystyle \,N\,} ,从否定的 N {\displaystyle \,N\,} 推出否定的 M {\displaystyle \,M\,} 。 E命题:所有 M {\displaystyle \,M\,} 不是 N {\displaystyle \,N\,} ,它允许两个推理方向,从肯定的 M {\displaystyle \,M\,} 推出否定的 N {\displaystyle \,N\,} ,从肯定的 N {\displaystyle \,N\,} 推出否定的 M {\displaystyle \,M\,} 。 I命题:有些 M {\displaystyle \,M\,} 是 N {\displaystyle \,N\,} ,它确定了有些个体存在于 M {\displaystyle \,M\,} 与 N {\displaystyle \,N\,} 的交集 中。 O命题:有些 M {\displaystyle \,M\,} 不是 N {\displaystyle \,N\,} ,它确定了有些个体存在于 M {\displaystyle \,M\,} 减 N {\displaystyle \,N\,} 的差集 中。 两个规则可以推出一个新规则,一个规则和一个存在事实可以推出一个新的存在事实,两个存在事实什么也推不出来。A命题可以和所有四种命题一起工作。E命题还可以和I命题一起工作。两个E命题无法推理。E命题和O命题不能一起工作,因为推出的是两个否定 的合取 ,不属于这四种命题之一(此为互斥前提謬誤 ),IE的組合都得出 P {\displaystyle \,P\,} 不包含於 S {\displaystyle \,S\,} 結論,不屬於四種命題之一。有效的論式在AA、AE、EA、AI、IA、EI、AO、OA這8種組合和4種格共32種情況中檢驗。
首先是推出新规则的推理。第1格和第4格的中項分別位於兩前提的主詞和謂詞位置上,所以是可直接推出結論。AA组合推出A,其中只有AAA-1是合理的,它推论出 S {\displaystyle \,S\,} 包含於 P {\displaystyle \,P\,} 的关系;第4格AA組合推论出 P {\displaystyle \,P\,} 包含於 S {\displaystyle \,S\,} 的关系,这不是四种命题之一,只能在 P {\displaystyle \,P\,} 确实有元素存在的前提下弱化为AAI-4。AE及EA组合推出E,其中EAE-1和AEE-4是直接推出的,其中AEE-4需要對換結論E命題的主詞和謂詞位置,EAE-2和AEE-2分別是它們二者在對換前提E命題的主詞和謂詞位置後的等價者。
AA和EA的第3格組合通過合成推理在中項確定有元素存在情況下形成AAI-3和EAO-3。EAO-4是EAO-3對換前提E命題的主詞和謂詞位置後的等價者。AE第3格組合得出 P {\displaystyle \,P\,} 不包含於 S {\displaystyle \,S\,} 的結論,不屬於四種命題之一。
其他论式都是一个全称命题作为规则,而另一个特称命题提出两个事实的合取,规则消去一个事实形成一个新事实,从而得到一个旧事实和新事实合取的新存在事实。AII-1、IAI-4、EIO-1是直接推出的,其中IAI-4需要對換結論I命題的主詞和謂詞位置,AII-3、IAI-3、EIO-2、EIO-3、EIO-4分別是它們三者在對換前提E命題的主詞和謂詞位置後的等價者。OAO-3是直接推出的,它沒有等價者。AOO-2沒有等價者,這裡對A命題採用了否定後件推理,歷史上採用反證法,假定結論O命題不成立,它與大前提A命題推出與小前提O命題矛盾的結果,所以結論成立。
歷史上,對於AAI-4、AAI-3、EAO-3、EAO-4,如它們的拉丁語名字中的P所指示的,通過把A命题是被弱化为I命题的方式引入某个集合确实有元素存在的前提。后人认为它們不是直言的(直言的意思就是无条件),这个问题被称为存在性引入问题 。
最後,有全稱結論的5個論式AAA-1、EAE-1、EAE-2、AEE-2、AEE-4的弱化結論可得出AAI-1、EAO-1、EAO-2、AEO-2、AEO-4,也可算入有效論式中。
24論式圖示 [ 编辑 ] 下表以文氏圖 展示24個有效直言三段論,不同欄表示不同的前提,不同外框顏色表示不同的結論,需要存在性預設 的推理以虛線與斜體字標示。
^ 中国社会科学院语言研究所词典编辑室. 现代汉语词典 2016年9月第七版. 商务印书馆. 2016: 1121 -1122 [2020-07-05 ] . ISBN 978-7-100-12450-8 (中文(大陆简体)) . .......【三段论】.......由大前提和小前提推出结论。如“凡金属都能导电”(大前提),“铜是金属”(小前提),“所以铜能导电”(结论)。....... ^ 这个论式还可以推导为: ∀ x ( P ( x ) → M ( x ) ) ∀ x ( P ( x ) → ¬ ( ¬ M ( x ) ) ) ∀ x ( ( ¬ M ( x ) ) → ¬ P ( x ) ) ∀ x ( S ( x ) → ¬ M ( x ) ) ∀ x ( S ( x ) → ( ¬ M ( x ) ) ) ∀ x ( S ( x ) → ¬ P ( x ) ) {\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow M(x))}{\forall x(P(x)\rightarrow \lnot (\lnot M(x)))}}{\forall x((\lnot M(x))\rightarrow \lnot P(x))}}\quad {\cfrac {\forall x(S(x)\rightarrow \lnot M(x))}{\forall x(S(x)\rightarrow (\lnot M(x)))}}}{\forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))}}} ^ 这里有 ∃ x ( S ( x ) ∧ ¬ P ( x ) ) ⟹ ∃ x ¬ P ( x ) {\displaystyle \exists x(S(x)\land \lnot P(x))\implies \exists x\lnot P(x)} 。这个论式还可以采用反证法 来推导: ∀ x ( P ( x ) → M ( x ) ) ¬ ( ∃ x ( S ( x ) ∧ ¬ P ( x ) ) ) ∀ x ( S ( x ) → P ( x ) ) ∀ x ( S ( x ) → M ( x ) ) ∃ x ( S ( x ) ∧ ¬ M ( x ) ) ∃ x ( ( ¬ M ( x ) ) ∧ S ( x ) ) ∃ x ( ( ¬ M ( x ) ) ∧ M ( x ) ) ⊥ ⟹ ∀ x ( P ( x ) → M ( x ) ) ∃ x ( S ( x ) ∧ ¬ M ( x ) ) ∃ x ( S ( x ) ∧ ¬ P ( x ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}&{\cfrac {{\cfrac {{\begin{matrix}\quad \\\forall x(P(x)\rightarrow M(x))\end{matrix}}\quad {\cfrac {\lnot (\exists x(S(x)\land \lnot P(x)))}{\forall x(S(x)\rightarrow P(x))}}}{\forall x(S(x)\rightarrow M(x))}}\quad {\cfrac {\exists x(S(x)\land \lnot M(x))}{\exists x((\lnot M(x))\land S(x))}}}{\cfrac {\exists x((\lnot M(x))\land M(x))}{\bot }}}\\\implies &{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow M(x))\qquad \exists x(S(x)\land \lnot M(x))}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}\end{aligned}}} 或者: ∀ x ( P ( x ) → M ( x ) ) ¬ ( ∃ x ( S ( x ) ∧ ¬ P ( x ) ) ) ∀ x ( S ( x ) → P ( x ) ) ∃ x ( S ( x ) ∧ ¬ M ( x ) ) ∃ x ( ( ¬ M ( x ) ) ∧ S ( x ) ) ∃ x ( ( ¬ M ( x ) ) ∧ P ( x ) ) ∃ x ( ( ¬ M ( x ) ) ∧ M ( x ) ) ⊥ ⟹ ∀ x ( P ( x ) → M ( x ) ) ∃ x ( S ( x ) ∧ ¬ M ( x ) ) ∃ x ( S ( x ) ∧ ¬ P ( x ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}&{\cfrac {{\begin{matrix}\quad \\\forall x(P(x)\rightarrow M(x))\end{matrix}}\quad {\cfrac {{\cfrac {\lnot (\exists x(S(x)\land \lnot P(x)))}{\forall x(S(x)\rightarrow P(x))}}\quad {\cfrac {\exists x(S(x)\land \lnot M(x))}{\exists x((\lnot M(x))\land S(x))}}}{\exists x((\lnot M(x))\land P(x))}}}{\cfrac {\exists x((\lnot M(x))\land M(x))}{\bot }}}\\\implies &{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow M(x))\qquad \exists x(S(x)\land \lnot M(x))}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}\end{aligned}}} ^ 直接結論是:所有M是P且S。 ∀ x ( M ( x ) → P ( x ) ) ∀ x ( M ( x ) → S ( x ) ) ∀ x ( M ( x ) → ( P ( x ) ∧ S ( x ) ) ) ∀ x ( M ( x ) → ( S ( x ) ∧ P ( x ) ) ) ∃ x M ( x ) ∃ x ( S ( x ) ∧ P ( x ) ) {\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow P(x))\qquad \forall x(M(x)\rightarrow S(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow (P(x)\land S(x)))}}{\forall x(M(x)\rightarrow (S(x)\land P(x)))}}\qquad {\begin{matrix}\quad \\\exists xM(x)\end{matrix}}}{\exists x(S(x)\land P(x))}}} ^ 直接結論是:所有M是S且非P。 ∀ x ( M ( x ) → ¬ P ( x ) ) ∀ x ( M ( x ) → S ( x ) ) ∀ x ( M ( x ) → ( ¬ P ( x ) ∧ S ( x ) ) ) ∀ x ( M ( x ) → ( S ( x ) ∧ ¬ P ( x ) ) ) ∃ x M ( x ) ∃ x ( S ( x ) ∧ ¬ P ( x ) ) {\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))\qquad \forall x(M(x)\rightarrow S(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow (\lnot P(x)\land S(x)))}}{\forall x(M(x)\rightarrow (S(x)\land \lnot P(x)))}}\quad {\begin{matrix}\quad \\\exists xM(x)\end{matrix}}}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}} ^ 在亞里士多德 《前分析篇 》裡關於AEE-2的論證中,對小前提進行對換主詞與謂詞位置之後,得出第4格的AEE-4,亞里士多德稱之為再次得到了第1格,沒有因為大項和小項位置顛倒而專門稱之為第4格。在亞里士多德的定義中第1格為中項既是一個前提的主詞又是另一個前提的謂詞。第4格中有4個論式是其他格的等價形式、1個論式是結論弱化形式,因此亞里士多德三段論體系並無缺失。 ^ 直接結論是:所有P是S。 ^ 直接結論是:所有M是S且非P。 ∀ x ( P ( x ) → ¬ M ( x ) ) ∀ x ( M ( x ) → ¬ P ( x ) ) ∀ x ( M ( x ) → S ( x ) ) ∀ x ( M ( x ) → ( ¬ P ( x ) ∧ S ( x ) ) ) ∀ x ( M ( x ) → ( S ( x ) ∧ ¬ P ( x ) ) ) ∃ x M ( x ) ∃ x ( S ( x ) ∧ ¬ P ( x ) ) {\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {\cfrac {{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot M(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))}}\qquad {\begin{matrix}\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow S(x))\end{matrix}}}{\forall x(M(x)\rightarrow (\lnot P(x)\land S(x)))}}{\forall x(M(x)\rightarrow (S(x)\land \lnot P(x)))}}\quad {\begin{matrix}\quad \\\exists xM(x)\end{matrix}}}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}} Aristotle , Prior Analytics . transl. Robin Smith (Hackett, 1989)ISBN 0-87220-064-7 . Blackburn, Simon , 1996. "Syllogism" in the Oxford Dictionary of Philosophy . Oxford University Press. ISBN 0-19-283134-8 . Broadie, Alexander, 1993. Introduction to Medieval Logic . Oxford University Press. ISBN 0-19-824026-0 . Irving Copi , 1969. Introduction to Logic , 3rd ed. Macmillan Company. Hamblin, Charles L. , 1970. Fallacies , Methuen : London, ISBN 0-416-70070-5 . Cf. on validity of syllogisms: "A simple set of rules of validity was finally produced in the later Middle Ages, based on the concept of Distribution.“ Jan Łukasiewicz , 1987 (1957). Aristotle's Syllogistic from the Standpoint of Modern Formal Logic . New York: Garland Publishers. ISBN 0824069242 . OCLC 15015545. 外部連結 [ 编辑 ]