線段樹 (儲存區間) - 维基百科，自由的百科全书

線段樹（英語：Segment tree）是一種二元樹形資料結構，1977年由喬恩·本特利發明^[1]，用以儲存區間或線段，並且允許快速查詢結構內包含某一點的所有區間。

一個包含 $n$ 個區間的線段樹，空間複雜度為 $O(n)$ ，查詢的時間複雜度則為 $O(\log n+k)$ ，其中 $k$ 是符合條件的區間數量。

此資料結構亦可推廣到高維度。

結構[编辑]

線段樹是一個平衡的二叉树，它将每个长度不为1的区间划分成左右两个区间递归求解。令整個區間的長度為N，則其有N個葉節點，每個葉節點代表一個單位區間，每個內部結點代表的區間為其兩個兒子代表區間的聯集。这种数据结构可以方便的进行大部分的区间操作。

本處以一維的線段樹為例。

令S是一維線段的集合。將這些線段的端點坐標由小到大排序，令其為 $x_{1},x_{2},\cdots ,x_{m}$ 。我們將被這些端點切分的每一個區間稱為「單位區間」（每個端點所在的位置會單獨成為一個單位區間），從左到右包含：

(-\infty ,x_{1}),[x_{1},x_{1}],(x_{1},x_{2}),[x_{2},x_{2}],...,(x_{m-1},x_{m}),[x_{m},x_{m}],(x_{m},+\infty )

線段樹的結構為一個二元樹，每個節點都代表一個坐標區間，節點N所代表的區間記為Int(N)，則其需符合以下條件：

其每一個葉節點，從左到右代表每個單位區間。
其內部節點代表的區間是其兩個兒子代表的區間之聯集。
每個節點（包含葉子）中有一個儲存線段的資料結構。若一個線段S的坐標區間包含Int(N)但不包含Int(parent(N))，則節點N中會儲存線段S。

實現[编辑]

C++[编辑]

在此以求出範圍最小值作為範例

template <typename T> class SegMinTree {  public:   // 新建一个最小值线段树用于处理[0, n)的数据   SegMinTree(int n) : N(n), values_(4 * n), deltas_(4 * n) {}    // 返回指定位置的数据   T Get(int index) const {     return GetRangeMin(index, index + 1);   }    // 将数据写入指定位置   void Set(int index, T value) {     IncrementRange(index, index + 1, value - Get(index));   }    // 返回区间上的最小值   T GetRangeMin(int start, int end) const {     return Query(FullSegment(), start, end);   }    // 对一段区间上的所有值加上同一个增量   void IncrementRange(int start, int end, T delta) {     Increment(FullSegment(), start, end, delta);   }   private:   struct Segment {     int id;     int start;     int end;      bool Overlaps(int start, int end) const {       return this->start < end && this->end > start;     }      bool IsIn(int start, int end) const {       return start <= this->start && this->end <= end;     }      Segment Left() const {       return {.id = id * 2, .start = start, .end = (start + end + 1) / 2};     }      Segment Right() const {       return {.id = id * 2 + 1, .start = (start + end + 1) / 2, .end = end};     }   };    Segment FullSegment() const {     return {.id = 1, .start = 0, .end = N};   }    T Query(const Segment& segment, int start, int end) const {     if (!segment.Overlaps(start, end)) {       return std::numeric_limits<T>::max();     }     if (segment.IsIn(start, end)) {       return values_[segment.id];     }     // 处理部分重合的情况     T children_value = std::min(Query(segment.Left(), start, end), Query(segment.Right(), start, end));     return deltas_[segment.id] + children_value;   }    // 返回segment里面新的最小值(跟[start, end)无关).   T Increment(const Segment& segment, int start, int end, T delta) {     if (!segment.Overlaps(start, end)) {       return values_[segment.id];  // 没有改变     }     if (segment.IsIn(start, end)) {       values_[segment.id] += delta;       deltas_[segment.id] += delta;       return values_[segment.id];     }     // 处理部分重合的情况     T value = std::min(Increment(segment.Left(), start, end, delta),                        Increment(segment.Right(), start, end, delta));     value += deltas_[segment.id];     values_[segment.id] = value;     return value;                             }    const int N;   std::vector<T> values_;   std::vector<T> deltas_;  // deltas_[id] 里的值只用于子结点。 };

C[编辑]

在此以求出範圍最小值作為範例

#include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define int long long int n , q , seg[800005] = {0} , x , a , b , arr[200005];   //初始化線段樹 void build(int id , int l , int r) { 	if(l == r){ 		seg[id] = arr[l]; 		return; 	} 	int mid = (l+r)>>1; 	build(2*id,l,mid); 	build(2*id+1,mid+1,r); 	seg[id] = min(seg[2*id],seg[2*id+1]); 	return; }   //從線段樹中提取資訊 int query(int id , int l , int r , int ql , int qr) { 	if(qr < l || ql > r)return 1e9; 	if(ql <= l && r <= qr)return seg[id]; 	int mid = (l+r)>>1; 	return min(query(2*id,l,mid,ql,qr), 			   query(2*id+1,mid+1,r,ql,qr)); }   //更新線段樹 void update(int id , int l , int r , int k , int u) { 	if(l==r){ 		seg[id] = u; 		return; 	} 	int mid = (l+r)>>1; 	if(k <= mid)update(2*id,l,mid,k,u); 	else update(2*id+1,mid+1,r,k,u); 	seg[id] = min(seg[2*id] , seg[2*id+1]); 	return; }  signed main() { 	//輸入陣列大小 提問數量 	cin >> n >> q; 	for(int i = 1 ; i <= n ; i++)cin >> arr[i]; 	build(1,1,n); 	for(int i = 0 ; i < q ; i++) 	{ 		//輸入 1 a b 代表將第a個數改為b 		//輸入 2 a b 代表求[a,b]中的最小值 		cin >> x >> a >> b; 		if(x == 1)update(1,1,n,a,b); 		else if(x == 2)cout << query(1,1,n,a,b) << "\n"; 	} 	return 0; }

參考資料[编辑]

^ （de Berg 等人 2000，p.229）

de Berg, Mark; van Kreveld, Marc; Overmars, Mark; Schwarzkopf, Otfried. More Geometric Data Structures. Computational Geometry: algorithms and applications 2nd. Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York. 20002000. ISBN 3-540-65620-0. doi:10.1007/978-3-540-77974-2.
http://www.cs.nthu.edu.tw/~wkhon/ds/ds10/tutorial/tutorial6.pdf （页面存档备份，存于互联网档案馆）

[Schwarzkopf4-1] （de Berg 等人 2000，p.229）

[1]