Rademacherverteilung – Wikipedia
Die Rademacherverteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung und somit dem mathematischen Teilgebiet der Stochastik zuzuordnen. Bei ihr handelt es sich um eine einfach univariate diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung auf , die unter anderem zur Definition der symmetrischen einfachen Irrfahrt auf genutzt wird.
Sie ist nach Hans Rademacher (1892–1969) benannt.
Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Die Rademacherverteilung ist definiert auf und besitzt die Wahrscheinlichkeitsfunktion
Die Verteilungsfunktion ist dann
Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Erwartungswert und andere Lagemaße[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Der Erwartungswert einer rademacherverteilten Zufallsvariablen ist
- .
Der Median ist
- .
Varianz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Die Varianz entspricht der Standardabweichung:
- .
Symmetrie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Die Rademacherverteilung ist symmetrisch um die 0.
Schiefe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Die Schiefe ist
- .
Exzess und Wölbung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Der Exzess der Rademacherverteilung ist
- .
Damit ist die Wölbung
- .
Höhere Momente[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Die -ten Momente sind
Entropie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Die Entropie ist
gemessen in Bit.
Kumulanten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Die kumulantenerzeugende Funktion ist
- .
Damit ist die erste Ableitung
und daher die erste Kumulante. Für die höheren Ableitungen gibt es geschlossene Darstellungen.
Momenterzeugende Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Die momenterzeugende Funktion ist
- .
Charakteristische Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Die charakteristische Funktion ist
- .
Beziehung zu anderen Verteilungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Beziehung zur Zweipunktverteilung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Die Rademacherverteilung ist eine Zweipunktverteilung mit .
Beziehung zur diskreten Gleichverteilung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Die Rademacherverteilung ist eine diskrete Gleichverteilung auf .
Beziehung zur Bernoulliverteilung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Sowohl die Bernoulliverteilung mit als auch die Rademacherverteilung modellieren einen fairen Münzwurf (oder eine faire, zufällige Ja/Nein-Entscheidung). Der Unterschied besteht lediglich darin, dass Kopf (Erfolg) und Zahl (Misserfolg) unterschiedlich kodiert werden.
Beziehung zur Binomialverteilung und dem Random Walk[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Sind unabhängige rademacherverteilte Zufallsvariablen, so ist
genau der symmetrische Random Walk auf . Demnach ist
also binomialverteilt.
Beziehung zur Laplaceverteilung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Ist rademacherverteilt, und ist exponentialverteilt zum Parameter , so ist laplaceverteilt zu dem Lageparameter 0 und dem Skalenparameter .
Vorkommen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Die Rademacherverteilung wird in der Funktionalanalysis für den Begriff des Typs und Kotyps zur Klassifikation von Banach-Räumen verwendet.