ماتریس ترانهاده در جبر خطی ترانهاده (به انگلیسی : Transpose ) یک ماتریس مانند A ماتریس دیگری است که با نماد A T (به شکلهای دیگر A ′، A tr یا t A نوشته میشود) مشخص شده و نسبت به ماتریس A دارای تفاوت با تعریف زیر است: [ A ] i × j = [ A T ] j × i {\displaystyle [A]_{i\times j}=[A^{T}]_{j\times i}}
به عبارت دیگر باید هنگام نوشتن ترانهاده هر ماتریسی سطرهای ماتریس را به شکل ستون نوشت و ستونهای ماتریس را به شکل سطر؛
در واقع یک ماتریس n×m اگر ترانهاده شود یک ماتریس m×n خواهد بود. ترانهاده یک عدد همان عدد است.
[ 1 2 ] T = [ 1 2 ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}.} [ 1 2 3 4 ] T = [ 1 3 2 4 ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}.} [ 1 2 3 4 5 6 ] T = [ 1 3 5 2 4 6 ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}.\;} خواص ترانهاد [ ویرایش ] برای دو ماتریس دلخواه A و B و عدد C خواص زیر صدق میکند
( A T ) T = A {\displaystyle \left(\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\right)^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} \quad \,} ( A + B ) T = A T + B T {\displaystyle (\mathbf {A} +\mathbf {B} )^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }+\mathbf {B} ^{\mathrm {T} }\,} ( A B ) T = B T A T {\displaystyle \left(\mathbf {AB} \right)^{\mathrm {T} }=\mathbf {B} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\,} ماتریس مربعی A وارونپذیر است اگر و فقط اگر A T وارونپذیر باشد ( c A ) T = c A T {\displaystyle (c\mathbf {A} )^{\mathrm {T} }=c\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\,} det ( A T ) = det ( A ) {\displaystyle \det(\mathbf {A} ^{\mathrm {T} })=\det(\mathbf {A} )\,} ضرب داخلی دو ماتریس a و b میتوان به شکل زیر محاسبه شود. a ⋅ b = a T b , {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\mathbf {b} ,} که در نمادگذاری اینشتین a i b i نوشته میشود.
( A T ) − 1 = ( A − 1 ) T {\displaystyle (\mathbf {A} ^{\mathrm {T} })^{-1}=(\mathbf {A} ^{-1})^{\mathrm {T} }\,} اگر A یک ماتریس مربعی باشد مقدار ویژه این ماتریس برابر مقدار ویژه ماتریس ترانهاده آن است. ماتریسهای خاص [ ویرایش ] ماتریس مربعی در صورتی ماتریس متقارن نامید میشود که ترانهادهاش با خودش برابر باشد
A T = A . {\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} .\,} ماتریس G در صورتی ماتریس متعامد است که:
G G T = G T G = I n , {\displaystyle \mathbf {GG} ^{\mathrm {T} }=\mathbf {G} ^{\mathrm {T} }\mathbf {G} =\mathbf {I} _{n},\,}  ؛ که I ماتریس همانی است. G T = G -۱ . ماتریسی که ترانهادهاش با قرینهاش برابر باشد ماتریس پادمتقارن نامیده میشود
A T = − A . {\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {T} }=-\mathbf {A} .\,} همیوغ ترانهاده ماتریس A ، به شکل A * ، نوشته میشود برابر است با ترانهاده آن ماتریس و ماتریس همیوغ آن.
A ∗ = ( A ¯ ) T = ( A T ) ¯ . {\displaystyle \mathbf {A} ^{*}=({\overline {\mathbf {A} }})^{\mathrm {T} }={\overline {(\mathbf {A} ^{\mathrm {T} })}}.} جستارهای وابسته [ ویرایش ] پیوند به بیرون [ ویرایش ]