Coordonnées de Boyer-Lindquist — Wikipédia

Les coordonnées de Boyer-Lindquist^{[N 1]} sont un système de coordonnées d'espace-temps utilisées pour écrire la métrique du trou noir de Kerr^[2] ou d'un trou noir de Kerr-Newmann^[3]. Elles généralisent les coordonnées de Schwarzschild^[2],[3] : elles sont singulières à l'horizon des événements du trou noir^[4]. Elles minimisent le nombre des composantes hors diagonale de la métrique^[5],[6]. Elles sont adaptées aux symétries du trou noir : sa stationarité et sa symétrie axiale^[7].

Présentation[modifier | modifier le code]

La notation usuelle des coordonnées est (t, r, θ, ϕ)^[2],[8] ou (ct, r, θ, ϕ)^[9],[10] avec^[11] :

• ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$,
• ${\displaystyle r\in \mathbb {R} }$,
• ${\displaystyle \theta \in \left(0,\pi \right)}$,
• ${\displaystyle \phi \in \left(0,2\pi \right)}$.

La métrique de Kerr admet deux champs de vecteurs de Killing, notés ${\displaystyle \xi }$ et ${\displaystyle \eta }$ et respectivement associés à la stationnarité et à la symétrie axiale^[12]. Les coordonnées de Boyer-Lindquist sont construites de sorte que les composantes ${\displaystyle \xi ^{\mu }}$ et ${\displaystyle \eta ^{\mu }}$ de ${\displaystyle \xi }$ et ${\displaystyle \eta }$ soient ${\displaystyle \xi ^{\mu }=\left(1,0,0,0\right)}$ et ${\displaystyle \eta ^{\mu }=\left(0,0,0,1\right)}$^[13].

Le changement de coordonnées des coordonnées de Boyer-Lindquist (r, θ, ϕ) vers les coordonnées cartésiennes (x, y, z), est donné par^[14],[15] :

x = √r² + a² sin θ cos ϕ,

y = √r² + a² sin θ sin ϕ,

z = r cos θ,

où a est le rapport entre le moment angulaire et la masse : a = J/M (voir trou noir de Kerr pour plus de détails).

Les coordonnées de Boyer-Linquist sont adaptées à un feuilletage 3 + 1 — dit feuilletage de Boyer-Linquist^{[N 2]} — d'un espace-temps axisymétrique. Elles permettent d'exprimer la métrique sous la forme^[18] :

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=\left(\beta ^{2}-\alpha ^{2}\right)\mathrm {d} t^{2}+2\beta _{\phi }\mathrm {d} \phi \mathrm {d} t+\gamma _{rr}\mathrm {d} r^{2}+\gamma _{\theta \theta }\mathrm {d} \theta ^{2}+\gamma _{\phi \phi }\mathrm {d} \phi ^{2}}$.

La représentation matricielle des coefficients de la métrique est ainsi^[18] :

${\displaystyle g_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}\beta ^{2}-\alpha ^{2}&0&0&\beta _{\phi }\\0&\gamma _{rr}&0&0\\0&0&\gamma _{\theta \theta }&0\\\beta _{\phi }&0&0&\gamma _{\phi \phi }\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \alpha }$ est la fonction lapse^[19]. ${\displaystyle \beta }$ est le vecteur shift^[19].

Dans l'expression d'une métrique en coordonnées de Boyer-Lindquist, on trouve un paramètre et des fonctions.

${\displaystyle a}$ est le paramètre de Kerr^[20]. Il est défini par ${\displaystyle a={\frac {J}{Mc}}}$^[21],[22] où ${\displaystyle M}$ est la masse et ${\displaystyle J}$ est le moment cinétique^[20] ; et est homogène à une longueur^[20].

Deux principales fonctions[modifier | modifier le code]

${\displaystyle \rho ^{2}}$ et ${\displaystyle \Delta }$ sont deux fonctions qui apparaissent dans l'expression d'une métrique en coordonnées de Boyer-Lindquist. Par construction de celles-ci, la métrique est singulière pour ${\displaystyle \rho =0}$ ou ${\displaystyle \Delta =0}$^[2],[9].

${\displaystyle \rho ^{2}}$ est une fonction des deux coordonnées ${\displaystyle r}$ et ${\displaystyle \theta }$ : ${\displaystyle \operatorname {\rho ^{2}} (r,\theta )}$^{[23],[24],[25]}. Elle est donnée par : ${\displaystyle \rho ^{2}=r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta }$, tant pour la métrique de Kerr^[26],[27] que pour celle de Kerr-Newman^[28],[29]. Elle est définie de sorte que les composantes ${\displaystyle g_{rr}}$ et ${\displaystyle g_{\theta \theta }}$ s'annulent pour ${\displaystyle \rho =0}$^[30]. C'est le cas pour ${\displaystyle \left(r,\theta \right)=\left(0,{\frac {\pi }{2}}\right)}$^[2].

${\displaystyle \Delta }$ est une fonction de la coordonnée ${\displaystyle r}$ : ${\displaystyle \operatorname {\Delta } (r)}$^{[23],[24],[31]}. Elle est définie de sorte que la composante ${\displaystyle g_{rr}}$ devienne singulière pour ${\displaystyle \Delta =0}$^[30]. C'est le cas pour ${\displaystyle r=r_{+}}$ et ${\displaystyle r=r_{-}}$^[2]. Les surfaces de coordonnées ${\displaystyle r_{\pm }}$ sont deux horizons. La surface de coordonnée ${\displaystyle r_{+}}$ est l'horizon des événements du trou noir^[32] ; celle de coordonnée ${\displaystyle r_{-}}$ est son horizon de Cauchy^[32].

Troisième fonction[modifier | modifier le code]

Une troisième fonction apparaît souvent dans l'expression d'une métrique en coordonnées de Boyer-Lindquist. Elle est notée ${\displaystyle \Sigma ^{2}}$^{[33],[34],[35]}. Dans le cas de la métrique de Kerr, elle est définie par^{[33],[34],[35]} : ${\displaystyle \Sigma ^{2}=\left(r^{2}+a^{2}\right)^{2}-a^{2}\Delta \sin ^{2}\theta }$. Il en est de même dans le cas de la métrique de Kerr-Newman^[36].

Autres fonctions[modifier | modifier le code]

${\displaystyle \alpha ^{2}}$, ${\displaystyle \varpi ^{2}}$ et ${\displaystyle \omega }$ sont trois autres fonctions qui apparaissent dans l'expression d'une métrique en coordonnées de Boyer-Lindquist^[37].

${\displaystyle \alpha }$ est la fonction lapse déjà rencontrée^[38]. ${\displaystyle \varpi }$ est le rayon cylindrique^[38] : ${\displaystyle 2\pi \varpi =2\pi {\sqrt {g_{\phi \phi }}}}$ est la circonférence d'un cercle autour de l'axe de symétrie^[39]. ${\displaystyle \omega }$ est la vitesse angulaire des ZAMOs^[38] : ${\displaystyle \omega =-\beta ^{\phi }=\left({\frac {\mathrm {d} _{\phi }}{\mathrm {d} _{t}}}\right)_{\mathrm {ZAMO} }}$. Dans le cas de la métrique de Kerr^[37] :

${\displaystyle \alpha ^{2}={\frac {\rho ^{2}}{\Sigma ^{2}}}\Delta }$^[40] ;

${\displaystyle \beta ^{2}={\frac {\beta _{\phi }^{2}}{\gamma _{\phi \phi }}}}$^[40] ;

${\displaystyle \varpi ^{2}={\frac {\Sigma ^{2}}{\rho ^{2}}}\sin ^{2}\theta }$ ;

${\displaystyle \omega ={\frac {2aMr}{\Sigma ^{2}}}}$.

Les composantes de la métrique sont reliées aux fonctions^[39]. Dans le cas de la métrique de Kerr^[41] :

${\displaystyle g_{tt}=\beta ^{2}-\alpha ^{2}}$^[18] ;

${\displaystyle g_{rr}=\gamma _{rr}={\frac {\rho ^{2}}{\Delta }}}$^[18],[42] ;

${\displaystyle g_{\theta \theta }=\gamma _{\theta \theta }=\rho ^{2}}$^[42] ;

${\displaystyle g_{\phi \phi }=\gamma _{\phi \phi }=\varpi ^{2}}$^[42].

${\displaystyle g_{t\phi }=\beta _{\phi }}$^[18].

Histoire[modifier | modifier le code]

Les éponymes des coordonnées de Boyer-Lindquist^[43] sont Robert H. Boyer (1932-1966) et Richard W. Lindquist^[1],[3],[44].

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

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Dictionnaires et encyclopédies[modifier | modifier le code]

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Liens externes[modifier | modifier le code]

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