En physique , un propagateur est une fonction de Green particulière utilisée en électrodynamique quantique , qui peut être interprétée comme l'amplitude de probabilité pour qu'une particule élémentaire se déplace d'un endroit à un autre dans un temps donné.
Le terme propagateur a été introduit en physique par Feynman en 1948[ 1] pour sa formulation de la mécanique quantique en intégrales de chemin , une nouvelle approche de la quantification centrée sur le Lagrangien , contrairement à la procédure habituelle de quantification canonique fondée sur le hamiltonien .
Le propagateur, outil mathématique très commode, sera rapidement identifié par Dyson comme n'étant rien d'autre qu'une fonction de Green . Cette remarque permettra à Dyson de faire en 1948 le lien manquant entre la formulation abstraite de l'électrodynamique quantique développée par Schwinger , et celle, basée sur des diagrammes , inventée indépendamment par Feynman.
Considérons une particule non relativiste de masse m {\displaystyle m} à une dimension, dont l'opérateur hamiltonien s'écrit :
H ^ = p ^ 2 2 m + V ( q ^ ) {\displaystyle {\hat {H}}\ =\ {\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}\ +\ V({\hat {q}})}
En représentation de Schrödinger , cette particule est décrite par le ket | ψ ( t ) ⟩ {\displaystyle |\psi (t)\rangle } qui obéit à l'équation de Schrödinger :
i ℏ d | ψ ( t ) ⟩ d t = H ^ | ψ ( t ) ⟩ {\displaystyle i\hbar \ {\frac {d|\psi (t)\rangle }{dt}}\ =\ {\hat {H}}\ |\psi (t)\rangle }
Si l'on se donne à un instant initial t 0 {\displaystyle t_{0}} fixé une condition initiale | ψ ( t 0 ) ⟩ {\displaystyle |\psi (t_{0})\rangle } , et en supposant que l'opérateur H ^ {\displaystyle \ {\hat {H}}} est indépendant du temps[ 2] , on peut écrire la solution de l'équation de Schrödinger aux instants ultérieurs t > t 0 {\displaystyle t>t_{0}} comme :
| ψ ( t ) ⟩ = e − i H ^ ( t − t 0 ) / ℏ | ψ ( t 0 ) ⟩ {\displaystyle |\psi (t)\rangle \ =\ e^{-i{\hat {H}}(t-t_{0})/\hbar }\ |\psi (t_{0})\rangle }
Projetons cette équation dans la représentation des positions :
⟨ q | ψ ( t ) ⟩ = ⟨ q | e − i H ^ ( t − t 0 ) / ℏ | ψ ( t 0 ) ⟩ {\displaystyle \langle q|\psi (t)\rangle \ =\ \langle q|e^{-i{\hat {H}}(t-t_{0})/\hbar }\ |\psi (t_{0})\rangle }
et insérons la relation de fermeture dans le terme de droite :
1 = ∫ d q 0 | q 0 ⟩ ⟨ q 0 | {\displaystyle 1\ =\ \int \mathrm {d} q_{0}\ |q_{0}\rangle \ \langle q_{0}|}
il vient :
⟨ q | ψ ( t ) ⟩ = ∫ d q 0 ⟨ q | e − i H ^ ( t − t 0 ) / ℏ | q 0 ⟩ ⟨ q 0 | ψ ( t 0 ) ⟩ {\displaystyle \langle q|\psi (t)\rangle \ =\ \int \mathrm {d} q_{0}\ \langle q|e^{-i{\hat {H}}(t-t_{0})/\hbar }\ |q_{0}\rangle \ \langle q_{0}|\psi (t_{0})\rangle }
Compte tenu du fait que ⟨ q | ψ ( t ) ⟩ = ψ ( q , t ) {\displaystyle \langle q|\psi (t)\rangle =\psi (q,t)} , l'équation précédente s'écrit sous la forme :
ψ ( q , t ) = ∫ d q 0 ⟨ q | e − i H ^ ( t − t 0 ) / ℏ | q 0 ⟩ ψ ( q 0 , t 0 ) {\displaystyle \psi (q,t)\ =\ \int \mathrm {d} q_{0}\ \langle q|e^{-i{\hat {H}}(t-t_{0})/\hbar }|q_{0}\rangle \ \psi (q_{0},t_{0})}
On définit le propagateur de l'équation de Schrödinger par :
K ( q , t | q 0 , t 0 ) = ⟨ q | e − i H ^ ( t − t 0 ) / ℏ | q 0 ⟩ {\displaystyle {K(q,t|q_{0},t_{0})\ =\ \langle q|e^{-i{\hat {H}}(t-t_{0})/\hbar }|q_{0}\rangle }}
de telle sorte que la fonction d'onde évolue selon l'équation intégrale :
ψ ( q , t ) = ∫ d q 0 K ( q , t | q 0 , t 0 ) ψ ( q 0 , t 0 ) {\displaystyle \psi (q,t)\ =\ \int \mathrm {d} q_{0}\ K(q,t|q_{0},t_{0})\ \psi (q_{0},t_{0})}
Comme ψ ( q , t ) {\displaystyle \psi (q,t)} est une solution de l'équation de Schrödinger, le propagateur est aussi une solution de cette équation :
i ℏ ∂ K ( q , t | q 0 , t 0 ) ∂ t = − ℏ 2 2 m Δ q K ( q , t | q 0 , t 0 ) + V ( q ) K ( q , t | q 0 , t 0 ) {\displaystyle i\hbar \ {\frac {\partial K(q,t|q_{0},t_{0})}{\partial t}}\ =\ -\ {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\ \Delta _{q}\ K(q,t|q_{0},t_{0})\ +\ V(q)\ K(q,t|q_{0},t_{0})}
qui doit de plus vérifier la condition initiale :
lim t → t 0 K ( q , t | q 0 , t 0 ) = δ ( q − q 0 ) {\displaystyle \lim _{t\to t_{0}}K(q,t|q_{0},t_{0})\ =\ \delta (q-q_{0})}
Les mathématiciens parlent dans ce cas d'une solution élémentaire de l'équation de Schrödinger, les physiciens utilisant plutôt le nom de fonction de Green .
Application au calcul d'une amplitude de transition [ modifier | modifier le code ] L'amplitude de transition pour que la particule passe d'état initial | ψ ( t 1 ) ⟩ {\displaystyle |\psi (t_{1})\rangle } à l'instant t 1 {\displaystyle t_{1}} vers un état | φ ( t 2 ) ⟩ {\displaystyle |\varphi (t_{2})\rangle } à l'instant t 2 > t 1 {\displaystyle t_{2}>t_{1}} est donné par l'élément de matrice :
S 1 → 2 = ⟨ φ ( t 2 ) | e − i H ^ ( t 2 − t 1 ) / ℏ | ψ ( t 1 ) ⟩ {\displaystyle S_{1\to 2}\ =\ \langle \varphi (t_{2})|e^{-i{\hat {H}}(t_{2}-t_{1})/\hbar }\ |\psi (t_{1})\rangle }
En insérant deux fois la relation de fermeture, on obtient :
S 1 → 2 = ∫ ∫ d q 1 d q 2 ⟨ φ ( t 2 ) | q 2 ⟩ ⟨ q 2 | e − i H ^ ( t 2 − t 1 ) / ℏ | q 1 ⟩ ⟨ q 1 | ψ ( t 1 ) ⟩ {\displaystyle S_{1\to 2}\ =\ \int \int \mathrm {d} q_{1}\mathrm {d} q_{2}\ \langle \varphi (t_{2})|q_{2}\rangle \ \langle q_{2}|\ e^{-i{\hat {H}}(t_{2}-t_{1})/\hbar }\ |q_{1}\rangle \ \langle q_{1}|\psi (t_{1})\rangle }
c’est-à-dire :
S 1 → 2 = ∫ ∫ d q 1 d q 2 φ ∗ ( q 2 , t 2 ) K ( q 2 , t 2 | q 1 , t 1 ) ψ ( q 1 , t 1 ) {\displaystyle S_{1\to 2}\ =\ \int \int \mathrm {d} q_{1}\mathrm {d} q_{2}\ \varphi ^{*}(q_{2},t_{2})\ K(q_{2},t_{2}|q_{1},t_{1})\ \psi (q_{1},t_{1})}
On constate donc que la connaissance du propagateur permet de calculer n'importe quelle amplitude de transition quantique, au moins formellement.
Expression du propagateur de la particule libre [ modifier | modifier le code ] On rappelle les relations :
ψ ^ ( p ) = ∫ d q 2 π ℏ e − i p q / ℏ ψ ( q ) {\displaystyle {\hat {\psi }}(p)\ =\ \int {\frac {\mathrm {d} q}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\ e^{\,-\,ipq/\hbar }\ \psi (q)} ψ ( q ) = ∫ d p 2 π ℏ e + i p q / ℏ ψ ^ ( p ) {\displaystyle \psi (q)\ =\ \int {\frac {\mathrm {d} p}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\ e^{\,+\,ipq/\hbar }\ {\hat {\psi }}(p)} Avec les notations de Dirac, et en utilisant la relation de fermeture sur les impulsions :
1 = ∫ d p | p ⟩ ⟨ p | {\displaystyle 1\ =\ \int \mathrm {d} p\ |p\rangle \ \langle p|} la seconde relation s'écrit :
⟨ q | ψ ⟩ = ∫ d p 2 π ℏ e + i p q / ℏ ⟨ p | ψ ⟩ = ∫ d p ⟨ q | p ⟩ ⟨ p | ψ ⟩ {\displaystyle \langle q|\psi \rangle \ =\ \int {\frac {\mathrm {d} p}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\ e^{\,+\,ipq/\hbar }\ \langle p|\psi \rangle \ =\ \int \mathrm {d} p\ \langle q|p\rangle \ \langle p|\psi \rangle } On tire la formule suivante :
⟨ q | p ⟩ = e + i p q / ℏ 2 π ℏ {\displaystyle \langle q|p\rangle \ =\ {\frac {e^{\,+\,ipq/\hbar }}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\ } Expression du propagateur de la particule libre [ modifier | modifier le code ] Pour une particule libre sur la droite, l'opérateur hamiltonien est indépendant de la position :
H ^ = p ^ 2 2 m {\displaystyle {\hat {H}}\ =\ {\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}} Le propagateur, qu'on note dans ce cas K 0 {\displaystyle K_{0}} , s'écrit alors :
K 0 ( q , t | q 0 , t 0 ) = ⟨ q | e − i p ^ 2 ( t − t 0 ) / ( 2 m ℏ ) | q 0 ⟩ {\displaystyle K_{0}(q,t|q_{0},t_{0})\ =\ \langle q|e^{-i{\hat {p}}^{2}(t-t_{0})/(2m\hbar )}|q_{0}\rangle } Insérons alors deux fois la relation de fermeture pour les impulsions dans la définition du propagateur :
K 0 ( q , t | q 0 , t 0 ) = ∫ d p ∫ d p 0 ⟨ q | p ⟩ ⟨ p | e − i p ^ 2 ( t − t 0 ) / ( 2 m ℏ ) | p 0 ⟩ ⟨ p 0 | q 0 ⟩ {\displaystyle K_{0}(q,t|q_{0},t_{0})\ =\ \int \mathrm {d} p\int \mathrm {d} p_{0}\ \langle q|p\rangle \ \langle p|e^{-i{\hat {p}}^{2}(t-t_{0})/(2m\hbar )}|p_{0}\rangle \ \langle p_{0}|q_{0}\rangle } Le ket | p 0 ⟩ {\displaystyle |p_{0}\rangle } étant par définition un état propre de l'opérateur impulsion p ^ {\displaystyle {\hat {p}}} , on a :
p ^ | p 0 ⟩ = p 0 | p 0 ⟩ {\displaystyle {\hat {p}}\,|p_{0}\rangle \ =\ p_{0}\,|p_{0}\rangle } et l'élément de matrice devient :
⟨ p | e − i p ^ 2 ( t − t 0 ) / ( 2 m ℏ ) | p 0 ⟩ = e − i p 0 2 ( t − t 0 ) / ( 2 m ℏ ) ⟨ p | p 0 ⟩ {\displaystyle \langle p|e^{-i{\hat {p}}^{2}(t-t_{0})/(2m\hbar )}|p_{0}\rangle \ =\ e^{-ip_{0}^{2}(t-t_{0})/(2m\hbar )}\ \langle p|p_{0}\rangle } Sachant que ⟨ p | p 0 ⟩ = δ ( p − p 0 ) {\displaystyle \langle p|p_{0}\rangle =\delta (p-p_{0})} , on obtient pour le propagateur :
K 0 ( q , t | q 0 , t 0 ) = ∫ d p ⟨ q | p ⟩ e − i p 2 ( t − t 0 ) / ( 2 m ℏ ) ⟨ p | q 0 ⟩ {\displaystyle K_{0}(q,t|q_{0},t_{0})\ =\ \int \mathrm {d} p\ \langle q|p\rangle \ e^{-ip^{2}(t-t_{0})/(2m\hbar )}\ \langle p|q_{0}\rangle } Compte tenu de la formule démontrée précédemment avec la transformée de Fourier , il vient :
K 0 ( q , t | q 0 , t 0 ) = ∫ d p e + i p q / ℏ 2 π ℏ × e − i p 2 ( t − t 0 ) / ( 2 m ℏ ) × e − i p q 0 / ℏ 2 π ℏ {\displaystyle K_{0}(q,t|q_{0},t_{0})\ =\ \int \mathrm {d} p\ {\frac {e^{\,+\,ipq/\hbar }}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\ \times \ e^{-ip^{2}(t-t_{0})/(2m\hbar )}\ \times \ {\frac {e^{\,-\,ipq_{0}/\hbar }}{\sqrt {2\pi \hbar }}}} qui se réécrit :
K 0 ( q , t | q 0 , t 0 ) = ∫ d p 2 π ℏ exp [ i p ( q − q 0 ) ℏ − i p 2 ( t − t 0 ) 2 m ℏ ] {\displaystyle K_{0}(q,t|q_{0},t_{0})\ =\ \int {\frac {\mathrm {d} p}{2\pi \hbar }}\ \exp \left[\,{\frac {ip(q-q_{0})}{\hbar }}\ -\ {\frac {ip^{2}(t-t_{0})}{2m\hbar }}\,\right]} L'argument de l'exponentielle peut se réécrire comme suit :
i p ( q − q 0 ) ℏ − i p 2 ( t − t 0 ) 2 m ℏ = − i ( t − t 0 ) 2 m ℏ × [ p 2 − 2 m p ( q − q 0 ) ( t − t 0 ) ] {\displaystyle {\frac {ip(q-q_{0})}{\hbar }}\ -\ {\frac {ip^{2}(t-t_{0})}{2m\hbar }}\ =\ -\ {\frac {i(t-t_{0})}{2m\hbar }}\ \times \ \left[\ p^{2}\ -\ {\frac {2mp(q-q_{0})}{(t-t_{0})}}\ \right]} Or le crochet est le début d'un carré parfait :
p 2 − 2 m p ( q − q 0 ) ( t − t 0 ) = [ p − m ( q − q 0 ) ( t − t 0 ) ] 2 − m 2 ( q − q 0 ) 2 ( t − t 0 ) 2 {\displaystyle p^{2}\ -\ {\frac {2mp(q-q_{0})}{(t-t_{0})}}\ =\ \left[\ p\ -\ {\frac {m(q-q_{0})}{(t-t_{0})}}\ \right]^{2}\ -\ {\frac {m^{2}(q-q_{0})^{2}}{(t-t_{0})^{2}}}} donc l'argument de l'exponentielle devient :
− i ( t − t 0 ) 2 m ℏ × [ ( p − m ( q − q 0 ) ( t − t 0 ) ) 2 − m 2 ( q − q 0 ) 2 ( t − t 0 ) 2 ] {\displaystyle -\ {\frac {i(t-t_{0})}{2m\hbar }}\ \times \ \left[\ \left(\ p\ -\ {\frac {m(q-q_{0})}{(t-t_{0})}}\ \right)^{2}\ -\ {\frac {m^{2}(q-q_{0})^{2}}{(t-t_{0})^{2}}}\right]} = − i ( t − t 0 ) 2 m ℏ ( p − m ( q − q 0 ) ( t − t 0 ) ) 2 + i m ( q − q 0 ) 2 2 ℏ ( t − t 0 ) {\displaystyle =\ -\ {\frac {i(t-t_{0})}{2m\hbar }}\ \left(\ p\ -\ {\frac {m(q-q_{0})}{(t-t_{0})}}\ \right)^{2}\ +\ {\frac {im(q-q_{0})^{2}}{2\hbar (t-t_{0})}}} Le dernier terme étant indépendant de l'impulsion, il sort de l'intégrale et le propagateur s'écrit :
K 0 ( q , t | q 0 , t 0 ) = exp ( i m ( q − q 0 ) 2 2 ℏ ( t − t 0 ) ) × ∫ d p 2 π ℏ exp [ − i ( t − t 0 ) 2 m ℏ ( p − m ( q − q 0 ) ( t − t 0 ) ) 2 ] {\displaystyle K_{0}(q,t|q_{0},t_{0})\ =\ \exp \left({\frac {im(q-q_{0})^{2}}{2\hbar (t-t_{0})}}\right)\ \times \ \int {\frac {\mathrm {d} p}{2\pi \hbar }}\ \exp \left[\,-\ {\frac {i(t-t_{0})}{2m\hbar }}\ \left(\ p\ -\ {\frac {m(q-q_{0})}{(t-t_{0})}}\ \right)^{2}\,\right]} On fait un changement de variable sur les impulsions, les autres paramètres étant fixés :
p ⟶ k = p − m ( q − q 0 ) ( t − t 0 ) ⟹ d p ⟶ d k = d p {\displaystyle p\ \longrightarrow \ k\ =\ p\ -\ {\frac {m(q-q_{0})}{(t-t_{0})}}\ \Longrightarrow \ \mathrm {d} p\ \longrightarrow \ \mathrm {d} k\ =\ \mathrm {d} p} ce qui donne :
K 0 ( q , t | q 0 , t 0 ) = 1 2 π ℏ exp ( i m ( q − q 0 ) 2 2 ℏ ( t − t 0 ) ) × ∫ d k exp [ − i ( t − t 0 ) k 2 2 m ℏ ] {\displaystyle K_{0}(q,t|q_{0},t_{0})\ =\ {\frac {1}{2\pi \hbar }}\ \exp \left({\frac {im(q-q_{0})^{2}}{2\hbar (t-t_{0})}}\right)\ \times \ \int \mathrm {d} k\ \exp \left[\,-\ {\frac {i(t-t_{0})k^{2}}{2m\hbar }}\,\right]} Il subsiste une intégrale Gaussienne qui se calcule exactement :
∫ d k e − α k 2 = π α {\displaystyle \int \mathrm {d} k\ e^{-\alpha k^{2}}\ =\ {\sqrt {\frac {\pi }{\alpha }}}} On en déduit que :
K 0 ( q , t | q 0 , t 0 ) = 1 2 π ℏ 2 π m ℏ i ( t − t 0 ) exp ( + i m ( q − q 0 ) 2 2 ℏ ( t − t 0 ) ) {\displaystyle K_{0}(q,t|q_{0},t_{0})\ =\ {\frac {1}{2\pi \hbar }}\ {\sqrt {\frac {2\pi m\hbar }{i(t-t_{0})}}}\ \exp \left({\frac {+im(q-q_{0})^{2}}{2\hbar (t-t_{0})}}\right)} d'où l'expression finale du propagateur libre :
K 0 ( q , t | q 0 , t 0 ) = m 2 π i ℏ ( t − t 0 ) exp ( + i m ( q − q 0 ) 2 2 ℏ ( t − t 0 ) ) {\displaystyle K_{0}(q,t|q_{0},t_{0})\ =\ {\sqrt {\frac {m}{2\pi i\hbar (t-t_{0})}}}\ \exp \left({\frac {+im(q-q_{0})^{2}}{2\hbar (t-t_{0})}}\right)}
Pour une particule libre dans un espace Euclidien à d dimensions, on pourrait démontrer de façon analogue que :
K 0 ( q → , t | q → 0 , t 0 ) = ( m 2 i π ℏ ( t − t 0 ) ) d / 2 exp ( + i m ( q → − q → 0 ) 2 2 ℏ ( t − t 0 ) ) {\displaystyle K_{0}({\vec {q}},t|{\vec {q}}_{0},t_{0})\ =\ \left(\,{\frac {m}{2i\pi \hbar (t-t_{0})}}\,\right)^{d/2}\ \exp \left({\frac {+im({\vec {q}}-{\vec {q}}_{0})^{2}}{2\hbar (t-t_{0})}}\right)}
La fonction d'onde à un instant t 2 > t 1 {\displaystyle t_{2}>t_{1}} est donnée par l'équation intégrale :
ψ ( q 2 , t 2 ) = ∫ d q 1 K ( q 2 , t 2 | q 1 , t 1 ) ψ ( q 1 , t 1 ) {\displaystyle \psi (q_{2},t_{2})\ =\ \int \mathrm {d} q_{1}\ K(q_{2},t_{2}|q_{1},t_{1})\ \psi (q_{1},t_{1})}
En introduisant dans cette équation la relation entre ψ ( q 1 , t 1 ) {\displaystyle \psi (q_{1},t_{1})} et ψ ( q 0 , t 0 ) {\displaystyle \psi (q_{0},t_{0})} , on obtient :
ψ ( q 2 , t 2 ) = ∫ d q 1 K ( q 2 , t 2 | q 1 , t 1 ) ∫ d q 0 K ( q 1 , t 1 | q 0 , t 0 ) ψ ( q 0 , t 0 ) {\displaystyle \psi (q_{2},t_{2})\ =\ \int \mathrm {d} q_{1}\ K(q_{2},t_{2}|q_{1},t_{1})\ \int \mathrm {d} q_{0}K(q_{1},t_{1}|q_{0},t_{0})\ \psi (q_{0},t_{0})}
qu'on peut écrire :
ψ ( q 2 , t 2 ) = ∫ d q 0 [ ∫ d q 1 K ( q 2 , t 2 | q 1 , t 1 ) K ( q 1 , t 1 | q 0 , t 0 ) ] ψ ( q 0 , t 0 ) {\displaystyle \psi (q_{2},t_{2})\ =\ \int \mathrm {d} q_{0}\ \left[\ \int \mathrm {d} q_{1}\ K(q_{2},t_{2}|q_{1},t_{1})\ K(q_{1},t_{1}|q_{0},t_{0})\ \right]\ \psi (q_{0},t_{0})}
Mais comme on peut aussi écrire directement que :
ψ ( q 2 , t 2 ) = ∫ d q 0 K ( q 2 , t 2 | q 0 , t 0 ) ψ ( q 0 , t 0 ) {\displaystyle \psi (q_{2},t_{2})\ =\ \int \mathrm {d} q_{0}\ K(q_{2},t_{2}|q_{0},t_{0})\ \psi (q_{0},t_{0})}
On en déduit la formule fondamentale suivante :
K ( q 2 , t 2 | q 0 , t 0 ) = ∫ d q 1 K ( q 2 , t 2 | q 1 , t 1 ) K ( q 1 , t 1 | q 0 , t 0 ) {\displaystyle K(q_{2},t_{2}|q_{0},t_{0})\ =\ \int \mathrm {d} q_{1}\ K(q_{2},t_{2}|q_{1},t_{1})\ K(q_{1},t_{1}|q_{0},t_{0})}
Cette relation porte le nom d'équation de Chapman-Kolmogorov dans la théorie des processus stochastiques, dont le mouvement brownien est un cas particulier.
↑ Richard P. Feynman ; Space-time approach to non-relativistic quantum mechanics , Review of Modern Physics 20 (1948) 267. Cet article est reproduit dans : Julian Schwinger (ed) ; Selected Papers on Quantum Electrodynamics , Dover Publications, Inc. (1958) (ISBN 0-486-60444-6 ) . Lire également la référence suivante. ↑ Si l'hamiltonnien est dépendant du temps, une analyse détaillée des notions utilisées permet de définir et d'utiliser l'intégrale de cet opérateur par rapport au temps. Richard P. Feynman ; Space-time approach to non-relativistic quantum mechanics , Review of Modern Physics 20 (1948) 267. Cet article est reproduit dans : Julian Schwinger (ed) ; Selected Papers on Quantum Electrodynamics , Dover Publications , Inc. (1958) (ISBN 0-486-60444-6 ) . Lire également la référence suivante. Richard P. Feynman and André R. Hibbs, Quantum Physics and Path Integrals , New York: McGraw-Hill, 1965 [ (ISBN 0-070-20650-3 ) ]. La référence historique, écrite par le Maître et l'un de ses élèves. Freeman Dyson ; Georges Green and physics , Physics World (août 1993 ), 33-38. Voir aussi la bibliographie de l'article : intégrale de chemin .