Número p-ádico , a enciclopedia libre

En liñas xerais, a aritmética modular módulo un número enteiro positivo n consiste en "aproximar" cada número enteiro polo resto da súa división por n, chamado o seu residuo módulo n. A principal propiedade da aritmética modular é que o residuo módulo n do resultado dunha sucesión de operacións sobre números enteiros é o mesmo que o resultado da mesma sucesión de operacións sobre residuos módulo n.

Un método antigo, aínda de uso común, consiste en utilizar varios módulos pequenos que son coprimos por pares e aplicar o teorema chinés do resto para recuperar o resultado módulo o produto dos módulos.

Outro método descuberto por Kurt Hensel consiste en utilizar un módulo primo p, e aplicar o lema de Hensel para recuperar de forma iterativa o módulo resultado das potencias de p, ${\displaystyle p^{2},p^{3},\ldots ,p^{n},\ldots }$  Se o proceso continúa infinitamente, isto proporciona finalmente un resultado que é un número p-ádico.

Existen varios xeitos de escribir un número p-ádico, as tres máis frecuentes son:

• Como unha serie de potencias de p.
• Posicional: como unha tira de números que son os coeficientes da serie de potencias
• Como unha secuencia de números que representan o número módulo as potencias de p.

Como se comentou na introdución os enteiros p-ádicos son os que teñen na serie só potencias positivas (${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ) e poden representar números usuais que son enteiros, racionais, irracionais e mesmo complexos. Por outra parte os racionais p-ádicos (${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ) ao ter potencias negativas, como se verá máis adiante, serían fraccións de ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ .

11 en 2-ádico:^[1]

${\displaystyle 11_{2}=1\cdot 2^{0}+1\cdot 2^{1}+0\cdot 2^{2}+1\cdot 2^{3}}$ 

${\displaystyle 11_{2}=\ldots 1011}$  (coincide con base 2)

${\displaystyle 11_{2}=(11\operatorname {mod} 2,11\operatorname {mod} 2^{2},11\operatorname {mod} 2^{3},\ldots )=(1,3,3,11,11,\ldots )}$ 

1/15 en 7-ádico:

${\displaystyle 1/15_{7}=1\cdot 7^{0}+5\cdot 7^{1}+3\cdot 2^{2}+6\cdot 2^{3}+0\cdot 2^{4}+5\cdot 2^{5}+6\cdot 2^{6}+\ldots }$ 

${\displaystyle 1/15_{7}=\ldots {\overline {0635}}1}$  (neste caso a similitude base 7, ${\displaystyle 0.{\overline {0316}}}$ , é máis complicada pois sería o complemento en base 7 e temos que -1/15 = ${\displaystyle {\overline {6130}}_{7}}$  en 7-ádico. A maiores como en p-ádico non ten potencias negativas o número esténdese cara a esquerda mentres que nos racionais usuais esténdese en potencias negativas cara a dereita).

${\displaystyle 1/15_{7}=(15x\equiv 1{\pmod {7}},15x\equiv 1{\pmod {7^{2}}},15x\equiv 1{\pmod {7^{3}}},\ldots )=(1,36,183,2241,\ldots )}$ .

Imos ver un cálculo de ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$  en 7-ádico: ^[2]

• Primeiro termo ${\displaystyle x_{0}}$ :

Queremos que ${\displaystyle x_{0}^{2}\equiv 2{\pmod {7}}}$ .

Atopamos que ${\displaystyle x_{0}=3}$  cumpre porque ${\displaystyle 3^{2}=9\equiv 2{\pmod {7}}}$ .

• Segundo termo ${\displaystyle x_{1}}$ :

Agora, procuramos ${\displaystyle x_{1}=3+u\cdot 7}$  tal que ${\displaystyle (3+u\cdot 7)^{2}\equiv 2{\pmod {7^{2}}}}$ .

${\displaystyle (3+u\cdot 7)^{2}=9+6\cdot u\cdot 7+(x_{1}\cdot 7)^{2}\equiv 2{\pmod {7^{2}}},\quad u=1}$ 

por tanto temos ${\displaystyle x_{1}=10}$ 

• Terceiro termo ${\displaystyle x_{2}}$ :

Repetimos o proceso para ${\displaystyle x_{2}=7^{2}u+x_{1}}$  que satisfaga ${\displaystyle (7^{2}u+x_{1})^{2}\equiv 2{\pmod {7^{3}}}}$ , lévanos a ${\displaystyle u=2,x_{2}=108}$ .

Logo temos ${\displaystyle {\sqrt {2}}_{7}=(3,10,108\ldots )}$ 

Se escribimos este resultado como serie formal de potencias temos (con máis termos):

${\displaystyle {\sqrt {2}}_{7}=3+1\cdot 7+2\cdot 7^{2}+6\cdot 7^{3}+1\cdot 7^{4}+\ldots }$ ^[3]

Que posicionalmente sería:

${\displaystyle {\sqrt {2}}_{7}=\ldots 16213}$ 

esta secuencia é infinita non periódica e como a raíz ten dúas solucións con signo cambiado a outra solución será o complemento a 7 da anterior:

${\displaystyle {\sqrt {2}}_{7}=\ldots 50454}$ 

${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$  en 5-ádico, pódese calcular do mesmo modo que o exemplo anterior:^[4][5]

Temos ${\displaystyle x_{0}^{2}\equiv -1{\pmod {5}}}$  implica ${\displaystyle x_{0}=2{\text{ ou }}x_{0}=3}$  e podemos seguir ambos os dous camiños.

${\displaystyle {\sqrt {-1}}_{5}=\ldots 43212}$  ou ${\displaystyle {\sqrt {-1}}_{5}=\ldots 13233}$  (con dous valores igual que acontece nas raíces dos números usuais, e vemos que módulo 5 suman cero).

Para -1 non existe a raíz cadrada en 7-ádico pois non existe ${\displaystyle x_{0}^{2}\equiv -1{\pmod {7}}}$ .

${\displaystyle {\frac {22}{85}}}$  en 5-ádico:^[6][1]

${\displaystyle 22_{5}=2\cdot 5^{0}+4\cdot 5^{1}}$  e ${\displaystyle 85_{5}=2\cdot 5^{1}+3\cdot 5^{2}}$ 

Como veremos máis adiante a valoración da fracción é ${\displaystyle -1}$ , por tanto procuramos ${\displaystyle 2\cdot 5^{0}+4\cdot 5^{1}=(2\cdot 5^{1}+3\cdot 5^{2})(a_{-1}5^{-1}+a_{0}5^{0}+a_{1}5^{1}+\cdots )}$ .

E agora resolvemos esa ecuación módulo 5 para obter ${\displaystyle a_{-1}=1}$ , módulo ${\displaystyle 5^{2}}$  para obter ${\displaystyle a_{0}=3}$ , etc.

Así temos ${\displaystyle 22/85_{5}=\ldots 1213403.1=1\cdot 5^{-1}+3\cdot 5^{0}+4\cdot 5^{2}+\cdots }$ 

Valoración: Todo número racional distinto de cero pódese escribir ${\textstyle p^{v}{\frac {m}{n}},}$  onde v, m e n son números enteiros e nin m nin n son divisíbeis por p. O expoñente v está determinado unicamente polo número racional e chámase a súa valoración valoración p-ádica. A demostración do lema resulta directamente do teorema fundamental da aritmética.

Dunha forma simple: obtemos a descomposición en factores primos do numerador e ten unha valoración que ven dada polo expoñente do factor p, facemos igual para o denominador e restamos os dous valores (por ese motivo no exemplo ${\displaystyle 22/85}$  tiña unha valoración -1, pois 22 non ten ningún factor 5 e 85 ten un factor 5¹).

Valor absoluto: O valor absoluto p-ádico dun número p-ádico distinto de cero x, é ${\displaystyle |x|_{p}=p^{-v(x)};}$  para o número p-ádico cero, temos ${\displaystyle |0|_{p}=0.}$ 

Así temos que o valor absoluto p-ádico dun número é o recíproco do primo p elevado á súa valoración. Por tanto canto maior sexa na súa descomposición o valor da potencia de p máis pequeno é o seu valor absoluto.

Existen varias definicións equivalentes de números p-ádicos. Por exemplo como o completamento dun anel de valoración discreta (ver § Enteiros p-ádicos), ou o completamento dun espazo métrico (ver § Propiedades topolóxicas), ou como o límites inversos (ver § Propiedades modulares).

Os enteiros p-ádicos son os números p-ádicos cunha valoración non negativa.

Un enteiro p-ádico pódese representar como unha secuencia

${\displaystyle x=(x_{1}\operatorname {mod} p,~x_{2}\operatorname {mod} p^{2},~x_{3}\operatorname {mod} p^{3},~\ldots )}$ 

de residuos x_e mod p^e para cada enteiro e, satisfacendo as relacións de congruencia ${\displaystyle x_{i}\equiv x_{j}~(\operatorname {mod} p^{i})}$  para i < j.

Todo número enteiro é un enteiro p-ádico. Os números racionais da forma ${\textstyle {\tfrac {n}{d}}p^{k}}$  con d coprimos con p e ${\displaystyle k\geq 0}$  tamén son enteiros p-ádicos (pola razón de que d ten un inverso multiplicativo módulo p^e para cada e).

Os números p-ádicos con expoñentes negativos na súa expansión non son enteiros p-ádicos.

Os enteiros p-ádicos forman un anel conmutativo, denotado ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$  ou ${\displaystyle \mathbf {Z} _{p}}$ , que ten as seguintes propiedades.

• É un dominio de integridade, xa que é un subanel dun corpo, ou xa que o primeiro termo da representación en serie do produto de dúas series p-ádicas non nulas é o produto dos seus primeiros termos.
• As unidades (elementos invertibles) de ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$  son os números p-ádicos de valoración cero.
• É un dominio de ideal principal (PID), de xeito que cada ideal é xerado por unha potencia de p.
• É un anel local de dimensión un de Krull, xa que os seus únicos ideais primos son o ideal cero e o ideal xerado por p, o ideal máximo único.
• É un anel de valoración discreto, xa que isto resulta das propiedades anteriores.
• É o completamento do anel local ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}=\{{\tfrac {n}{d}}\mid n,d\in \mathbb {Z} ,\,d\not \in p\mathbb {Z} \},}$  que é a localización de ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  no ideal primo ${\displaystyle p\mathbb {Z} .}$ 

A última propiedade proporciona unha definición dos números p-ádicos: o corpo dos números p-ádicos é o corpo das fraccións do completamento da localización dos enteiros no ideal primo xerado por p.

A valoración p-ádica permite definir un valor absoluto en números p-ádicos: o valor absoluto p-ádico dun número p-ádico distinto de cero x é

${\displaystyle |x|_{p}=p^{-v_{p}(x)},}$ 

onde ${\displaystyle v_{p}(x)}$  é a valoración p-ádica de x. O valor absoluto p-ádico de ${\displaystyle 0}$  é ${\displaystyle |0|_{p}=0.}$  Este é un valor absoluto que satisfai a desigualdade forte do triángulo xa que, para cada x e y temos

• ${\displaystyle |x|_{p}=0}$  se e só se ${\displaystyle x=0;}$ 
• ${\displaystyle |x|_{p}\cdot |y|_{p}=|xy|_{p}}$ 
• ${\displaystyle |x+y|_{p}\leq \max(|x|_{p},|y|_{p})\leq |x|_{p}+|y|_{p}.}$ 

Máis aínda, se ${\displaystyle |x|_{p}\neq |y|_{p},}$  temos ${\displaystyle |x+y|_{p}=\max(|x|_{p},|y|_{p}).}$ 

Isto fai que os números p-ádicos sexan un espazo métrico, e mesmo un espazo ultramétrico, coa distancia p-ádica definida por ${\displaystyle d_{p}(x,y)=|x-y|_{p}.}$ 

Como a métrica se define a partir dunha valoración discreta, cada bóla aberta tamén está pechada. Máis precisamente, a bóla aberta ${\displaystyle B_{r}(x)=\{y\mid d_{p}(x,y)<r\}}$  é igual á bóla pechada ${\displaystyle B_{p^{-v}}[x]=\{y\mid d_{p}(x,y)\leq p^{-v}\},}$  onde v é o menor enteiro tal que ${\displaystyle p^{-v}<r.}$  Do mesmo xeito, ${\displaystyle B_{r}[x]=B_{p^{-w}}(x),}$  onde w é o maior enteiro tal que ${\displaystyle p^{-w}>r.}$ 

Isto implica que os números p-ádicos forman un espazo localmente compacto e os enteiros p-ádicos, é dicir, a bóla ${\displaystyle B_{1}[0]=B_{p}(0)}$ , forma un espazo compacto.

A expansión decimal dun número racional positivo ${\displaystyle r}$  é a súa representación como serie

${\displaystyle r=\sum _{i=k}^{\infty }a_{i}p^{i}}$ 

A expansión p-ádica dun número racional defínese de xeito similar, pero cun paso de división diferente. Máis precisamente, dado un número primo fixo ${\displaystyle p}$ , todo número racional distinto de cero ${\displaystyle r}$  pódese escribir unicamente como ${\displaystyle r=p^{k}{\tfrac {n}{d}},}$  onde ${\displaystyle k}$  é un número enteiro (posiblemente negativo), ${\displaystyle n}$  e ${\displaystyle d}$  son enteiros coprimos con ${\displaystyle p}$ , e ${\displaystyle d}$  é positivo. O número enteiro ${\displaystyle k}$  é a valoración p-ádica de ${\displaystyle r}$ , denotado ${\displaystyle v_{p}(r),}$  e ${\displaystyle p^{-k}}$  é o seu valor absoluto p-ádico, denotado ${\displaystyle |r|_{p}}$  (o valor absoluto é pequeno cando a valoración é grande). O paso da división consiste en

onde k é un número enteiro (posiblemente negativo), e cada ${\displaystyle a_{i}}$  é un número enteiro tal que ${\displaystyle 0\leq a_{i}<p.}$  Un enteiro p-ádico é un número p-ádico tal que ${\displaystyle k\geq 0.}$ 

A expansión ${\displaystyle p}$ -ádica de ${\displaystyle r}$  é a serie formal de potencias

Se ${\displaystyle r=p^{k}{\tfrac {n}{1}}}$  con ${\displaystyle n>0}$ , o proceso detense eventualmente cun resto cero; neste caso, a serie complétase con termos finais cun coeficiente cero, e daquela a representación de ${\displaystyle r}$  coincide coa representación en base-p.

O anel cociente ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}}$  pode identificarse co anel ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$  dos números enteiros módulo ${\displaystyle p^{n}.}$  Isto pódese demostrar observando que todo enteiro p-ádico, representado pola súa serie p-ádica normalizada, é congruente módulo ${\displaystyle p^{n}}$  coa súa suma parcial ${\textstyle \sum _{i=0}^{n-1}a_{i}p^{i},}$  cuxo valor é un número enteiro no intervalo ${\displaystyle [0,p^{n}-1].}$  Unha verificación sinxela mostra que isto define un isomorfismo de aneis de ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}}$  en ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} .}$ 

${\displaystyle {\frac {1}{5}}=\dots 121012102_{3}.}$ 

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\tfrac {1}{5}}&{}=0.01210121\ldots \ ({\text{base }}3)&&{}=0\cdot 3^{0}+0\cdot 3^{-1}+1\cdot 3^{-2}+2\cdot 3^{-3}+\cdots \\[5mu]{\tfrac {1}{5}}&{}=\dots 121012102\ \ ({\text{3-ádica}})&&{}=\cdots +2\cdot 3^{3}+1\cdot 3^{2}+0\cdot 3^{1}+2\cdot 3^{0}.\end{alignedat}}}$ 

Os números p-ádicos forman un corpo chamado corpo de números p-ádicos e denotado ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ . Hai un único homomorfismo de corpos dos números racionais nos números p-ádicos, que mapea un número racional coa súa expansión p-ádica. A imaxe deste homomorfismo identifícase habitualmente co corpo dos números racionais. Isto permite considerar os números p-ádicos como unha extensión do corpo dos números racionais, e os números racionais como un subcorpo dos números p-ádicos.

O límite inverso dos aneis ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}}$  defínese como o anel formado polas secuencias ${\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots }$  tal que ${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {Z} /p^{i}\mathbb {Z} }$  e ${\textstyle a_{i}\equiv a_{i+1}{\pmod {p^{i}}}}$  para cada i.

Cando se realiza a aritmética nesta notación, os díxitos lévanse á esquerda. Tamén é posible escribir expansións p-ádicas para que as potencias de p aumenten de esquerda a dereita e os díxitos sexan levados cara á dereita. Con esta notación de esquerda a dereita a expansión 3-ádica de ${\displaystyle {\tfrac {1}{5}}}$  é

O anel cociente ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}}$  pódese identificar co anel ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$  dos enteiros [[aritmética modula número enteiro p-ádico, representado pola súa serie p-ádica normalizada, é congruente módulo ${\displaystyle p^{n}}$  coa súa suma parcial ${\textstyle \sum _{i=0}^{n-1}a_{i}p^{i},}$  cuxo valor é un número enteiro no intervalo ${\displaystyle [0,p^{n}-1].}$  Unha verificación sinxela mostra que isto define un isomorfismo de aneis desde ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}}$  ata ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} .}$ 

O límite inverso dos aneis ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}}$  defínese como o anel formado polas secuencias ${\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots }$  tal que ${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {Z} /p^{i}\mathbb {Z} }$  e ${\textstyle a_{i}\equiv a_{i+1}{\pmod {p^{i}}}}$  para todo i.

A correspondencia que mapea unha serie p-ádica normalizada coa secuencia das súas sumas parciais é un isomorfismo de aneis de ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$  no límite inverso de ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}.}$  Isto proporciona outra forma de definir os números enteiros p-ádicos (ata un isomorfismo).

Esta definición de enteiros p-ádicos é especialmente útil para cálculos prácticos, xa que permite construír enteiros p-ádicos mediante aproximacións sucesivas.

Por exemplo, para calcular o inverso p-ádico (multiplicativo) dun número enteiro, pódese usar o método de Newton, comezando polo inverso módulo p; entón, cada paso de Newton calcula o inverso módulo ${\textstyle p^{n^{2}}}$  a partir do inverso módulo ${\textstyle p^{n}.}$ 

O mesmo método pódese usar para calcular a raíz cadradap-ádica dun número enteiro que é un residuo cadrático módulo p. Este parece ser o método máis rápido coñecido para comprobar se un enteiro grande é un cadrado: abonda con comprobar se o enteiro dado é o cadrado do valor atopado en ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}}$ . Aplicar o método de Newton para atopar a raíz cadrada require que ${\textstyle p^{n}}$  sexa maior que o duplo do número enteiro dado, o que se satisfai rapidamente.

O levantamento de Hensel é un método similar que permite "elevar" o módulo de factorización p dun polinomio con coeficientes enteiros a un módulo de factorización ${\textstyle p^{n}}$  para valores grandes de n. Isto úsase habitualmente nos algoritmos de factorización polinómica.

Tanto ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$  como ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$  son non numerábeis e teñen a cardinalidade do continuo.^[7] Para ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p},}$  isto resulta da representación p-ádica, que define unha bixección de ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$  no conxunto de partes ${\displaystyle \{0,\ldots ,p-1\}^{\mathbb {N} }.}$  Para ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$  isto resulta da súa expresión como unha unión numerabelmente infinita de copias de ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ :

${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}=\bigcup _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{p^{i}}}\mathbb {Z} _{p}.}$ 

O principio local-global de Helmut Hasse, é a idea de que se pode atopar unha solución en enteiros dunha ecuación utilizando o teorema chinés dos restos para unir solucións módulo potencias de cada número primo diferente. Isto faise examinando a ecuación no completamento dos números racionais: os números reais e os números p-ádicos.Este principio vale, por exemplo, para ecuacións dadas por formas cadráticas, pero falla para polinomios superiores en varias indeterminadas.

Os reais e os números p-ádicos son os completamentos dos racionais; tamén é posíbel completar outros corpos, por exemplo os corpos numéricos alxébricos en xeral, dun xeito análogo, como imos ver.

Supoña que D é un dominio de Dedekind e que E é o seu corpo de fraccións. Escollemos un ideal principal distinto de cero P de D. Se x é un elemento distinto de cero de E, entón xD é un ideal fraccional e pódese factorizar de forma única como un produto de potencias positivas e negativas de potencias distintas de cero de ideais principais de D. Escribimos ord_P(x) para denotar o expoñente de P nesta factorización, e para calquera opción de número c maior que 1 podemos definir

${\displaystyle |x|_{P}=c^{-\!\operatorname {ord} _{P}(x)}.}$ 

O completamento con respecto a este valor absoluto |⋅|_P é un corpo E_P , esta é a xeneralización natural do corpo dos números p-ádicos para esta definición. A elección de c non muda o completamento (diferentes opcións producen o mesmo concepto de secuencia de Cauchy, polo tanto o mesmo completamento). É conveniente, cando o corpo de residuos D/P é finito, tomar como c o tamaño de D/P.

Por exemplo, cando E é un corpo numérico, o teorema de Ostrowski di que todo valor absoluto non arquimediano non trivial en E' ' xorde como algúns |⋅|P. Os restantes valores absolutos non triviais en E xorden dos diferentes metgullos de E nos números reais ou complexos. (De feito, os valores absolutos non arquimedianos poden considerarse simplemente como os diferentes mergullos de E nos corpos Cp, poñendo así o descrición de todos os valores absolutos non triviais dun corpo numérico nunha base común.)

Moitas veces, hai que facer un seguimento simultáneo de todos os completamentos arriba mencionados cando E é un corpo numérico (ou máis xeralmente un corpo global), que se ven como unha especie de codificación de información "local". Isto conséguese mediante os aneis adélicos e os grupos de ideles.

Os enteiros p-ádicos pódense estender a solenoides p-ádicos ${\displaystyle \mathbb {T} _{p}}$ . Hai un mapa desde ${\displaystyle \mathbb {T} _{p}}$  ata o grupo de círculos cuxas fibras son os enteiros p-ádicos ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ , en analoxía a como hai un mapa desde ${\displaystyle \mathbb {R} }$  ata o círculo cuxas fibras son ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ .

• Cassels, J. W. S. (1986). Local Fields. London Mathematical Society Student Texts 3. Cambridge University Press. ISBN 0-521-31525-5. Zbl 0595.12006. 
• Dedekind, Richard; Weber, Heinrich (2012). Theory of Algebraic Functions of One Variable. History of mathematics 39. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-8330-3. . — Translation into English by John Stillwell of Theorie der algebraischen Functionen einer Veränderlichen (1882).
• Gouvêa, F. Q. (March 1994). A Marvelous Proof. American Mathematical Monthly 101. pp. 203–222. JSTOR 2975598. doi:10.2307/2975598. 
• Gouvêa, Fernando Q. (1997). p-adic Numbers: An Introduction (2nd ed.). Springer. ISBN 3-540-62911-4. Zbl 0874.11002. 
• Hazewinkel, M., ed. (2009). Handbook of Algebra 6. North Holland. p. 342. ISBN 978-0-444-53257-2. }}
• Hehner, Eric C. R.; Horspool, R. Nigel (1979). A new representation of the rational numbers for fast easy arithmetic. SIAM Journal on Computing 8. pp. 124–134. doi:10.1137/0208011. 
• Hensel, Kurt (1897). Über eine neue Begründung der Theorie der algebraischen Zahlen. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 6. pp. 83–88. 
• Kelley, John L. (2008) [1955]. General Topology. New York: Ishi Press. ISBN 978-0-923891-55-8. 
• Koblitz, Neal (1980). p-adic analysis: a short course on recent work. London Mathematical Society Lecture Note Series 46. Cambridge University Press. ISBN 0-521-28060-5. Zbl 0439.12011. 
• Robert, Alain M. (2000). A Course in p-adic Analysis. Springer. ISBN 0-387-98669-3. 

Outras obras:

• Bachman, George (1964). Introduction to p-adic Numbers and Valuation Theory. Academic Press. ISBN 0-12-070268-1. 
• Borevich, Z. I.; Shafarevich, I. R. (1986). Number Theory. Pure and Applied Mathematics 20. Boston, MA: Academic Press. ISBN 978-0-12-117851-2. |mr=0195803}}
• Koblitz, Neal (1984). p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions. Graduate Texts in Mathematics 58 (2nd ed.). Springer. ISBN 0-387-96017-1. 
• Mahler, Kurt (1981). p-adic numbers and their functions. Cambridge Tracts in Mathematics 76 (2nd ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-23102-7. Zbl 0444.12013. 
• Steen, Lynn Arthur (1978). Counterexamples in Topology. Dover. ISBN 0-486-68735-X. 

• Non arquimedeano
• Mecánica cuántica p-ádica
• Teoría p-ádica de Hodge
• Teoría p-ádica de Teichmuller
• Análise p-ádia
• 1 + 2 + 4 + 8 + ...
• Lema de Hensel
• Teorema de Mahler
• Complemento a dous

• Weisstein, Eric W. "p-adic Number". MathWorld. 
• p-adic number at Springer On-line Encyclopaedia of Mathematics