Rango (álxebra linear) , a enciclopedia libre

Rango dunha matriz

editar

O rango dunha matriz   (cuxos coeficientes pertencen a un corpo conmutativo de escalares,   ), denotado  , pode definirse mediante calquera dos seguintes enunciados:

  • o número máximo de vectores fila (ou columna) linearmente independentes;
  • a dimensión do subespazo vectorial xerado polos vectores fila (ou columna) de  ;
  • a maior orde das matrices cadradas invertíbeis extraídas de  ;
  • a maior das ordes de menores non nulos de  ;
  • o menor tamaño das matrices   e   cuxo produto é igual a  .

O rango pódese determinar realizando unha eliminación mediante o método Gauss-Jordan e examinando a forma escalonada obtida deste xeito.

Exemplo

editar

Considere a seguinte matriz :

 

Chamamos   os vectores formados polas catro filas de  .

Vemos que o 2 fila é o duplo da primeira fila, polo que o rango de   é igual ao da familia   .

Tamén observamos que a fila cuarta pódese formar sumando as filas 1 e 3 (i.e.   ). Entón o rango de   é igual ao de   .

As liñas 1 e 3 son linearmente independentes (é dicir, non proporcionais). Así temos que   é de rango 2 e por tanto o rango de   é 2.

O rango dunha forma cuadrática é o rango da matriz asociada.

Rango dun mapa linear

editar

Dados dous  -espazos vectoriais  ,  , onde   é un corpo conmutativo e un mapa linear   de   en  , o rango de   é a dimensión da imaxe  .

Se   e   son de dimensións finitas, tamén é o rango da matriz asociada   en dúas bases de   e  . En particular, o rango da matriz asociada   non depende das bases escollidas para representar  . De feito, a multiplicación pola dereita ou pola esquerda por unha matriz invertíbel non modifica o rango, o que leva  , onde   é a matriz que representa   nun primeiro par de bases, e  ,   son as matrices de cambio de bases.

Rango dunha familia de vectores

editar
  • Para unha familia, o seu rango corresponde ao número máximo de vectores que pode conter unha subfamilia libre desta familia.
  • Tamén podemos definir o rango dunha familia   por :   .

Nota : se   é unha familia de vectores indexados polos enteiros de 1 a  , entón o rango de   é o rango do mapa linear  Onde   é o corpo dos escalares. A razón é esta :   é a imaxe deste mapa linear.

Teorema do rango

editar

Teorema do rango: sexa   unha aplicación linear de   en  ,  

Caso no que o corpo dos escalares non é conmutativo

editar

No anterior, asumimos que o corpo dos escalares é conmutativo. Podemos estender a noción de rango dunha matriz ao caso en que o corpo de escalares non é necesariamente conmutativo, pero a definición é un pouco máis delicada.

Sexa   un corpo non necesariamente conmutativo e   unha matriz con m filas e n columnas con coeficientes en  . Chamamos rango de   (en relación con  ) á dimensión do subespazo xerado polas columnas de   en   equipado coa súa estrutura de  -espazo vectorial pola dereita[1]. Demostramos que o rango de   tamén é igual á dimensión do subespazo xerado polas filas de   en   equipado coa súa estrutura de espazo vectorial K pola esquerda[2].

Considere por exemplo un corpo non conmutativo K e a matriz  , onde   e   son dous elementos de   que non conmutan (e son distintos de cero).

As dúas filas desta matriz están relacionadas linearmente no espazo vectorial pola esquerda  , porque  . Do mesmo xeito, as dúas columnas están relacionadas no espazo vectorial pola dereita  , porque  . O rango da matriz é, polo tanto, igual a 1.

Por outra banda, as dúas columnas non están relacionadas no espazo vectorial pola esquerda  . De feito, sexan  ,   escalares tal que  . Entón (primeiros compoñentes)  , polo tanto (segundos compoñentes)  . Posto que  ,   non conmutan, isto resulta en   (ao multiplicar por   obtemos unha contradición) . Demostramos así que as dúas columnas da matriz son linearmente independentes no espazo vectorial pola esquerda  .

  1. Definición conforme a N. Bourbaki, Algèbre, partie I, Paris, Hermann, 1970, p. II.59, definición 7.
  2. Ver N. Bourbaki, Algèbre, partie I, Paris, Hermann, 1970, p. II.59, prop. 10.

Véxase tamén

editar

Bibliografía

editar
  • Roger A. Horn and Charles R. Johnson (1985). Matrix Analysis. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-38632-6. 
  • Kaw, Autar K. Two Chapters from the book Introduction to Matrix Algebra: 1. Vectors [1] and System of Equations [2]
  • Mike Brookes: Matrix Reference Manual. [3]

Outros artigos

editar

Ligazóns externas

editar