Rango (álxebra linear) , a enciclopedia libre

O rango dunha matriz ${\displaystyle A}$  (cuxos coeficientes pertencen a un corpo conmutativo de escalares, ${\displaystyle \mathbb {K} }$  ), denotado ${\displaystyle {\text{rank}}(A)}$ , pode definirse mediante calquera dos seguintes enunciados:

• o número máximo de vectores fila (ou columna) linearmente independentes;
• a dimensión do subespazo vectorial xerado polos vectores fila (ou columna) de ${\displaystyle A}$ ;
• a maior orde das matrices cadradas invertíbeis extraídas de ${\displaystyle A}$ ;
• a maior das ordes de menores non nulos de ${\displaystyle A}$ ;
• o menor tamaño das matrices ${\displaystyle B}$  e ${\displaystyle C}$  cuxo produto é igual a ${\displaystyle A}$ .

O rango pódese determinar realizando unha eliminación mediante o método Gauss-Jordan e examinando a forma escalonada obtida deste xeito.

Considere a seguinte matriz :

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&0&2&3\\2&0&4&6\\0&2&2&0\\1&2&4&3\\\end{pmatrix}}}$ 

Chamamos ${\displaystyle l_{1},l_{2},l_{3},l_{4}}$  os vectores formados polas catro filas de ${\displaystyle A}$ .

Vemos que o 2 fila é o duplo da primeira fila, polo que o rango de ${\displaystyle A}$  é igual ao da familia ${\displaystyle (l_{1},l_{3},l_{4})}$  .

Tamén observamos que a fila cuarta pódese formar sumando as filas 1 e 3 (i.e. ${\displaystyle l_{4}=l_{1}+l_{3}}$  ). Entón o rango de ${\displaystyle (l_{1},l_{3},l_{4})}$  é igual ao de ${\displaystyle (l_{1},l_{3})}$  .

As liñas 1 e 3 son linearmente independentes (é dicir, non proporcionais). Así temos que ${\displaystyle (l_{1},l_{3})}$  é de rango 2 e por tanto o rango de ${\displaystyle A}$  é 2.

O rango dunha forma cuadrática é o rango da matriz asociada.

Dados dous ${\displaystyle K}$ -espazos vectoriais ${\displaystyle E}$ , ${\displaystyle F}$ , onde ${\displaystyle K}$  é un corpo conmutativo e un mapa linear ${\displaystyle f}$  de ${\displaystyle E}$  en ${\displaystyle F}$ , o rango de ${\displaystyle f}$  é a dimensión da imaxe ${\displaystyle f}$ .

Se ${\displaystyle E}$  e ${\displaystyle F}$  son de dimensións finitas, tamén é o rango da matriz asociada ${\displaystyle f}$  en dúas bases de ${\displaystyle E}$  e ${\displaystyle F}$ . En particular, o rango da matriz asociada ${\displaystyle f}$  non depende das bases escollidas para representar ${\displaystyle f}$ . De feito, a multiplicación pola dereita ou pola esquerda por unha matriz invertíbel non modifica o rango, o que leva ${\displaystyle {\text{rank}}\left(P^{-1}AQ\right)={\text{rank}}(A)}$ , onde ${\displaystyle A}$  é a matriz que representa ${\displaystyle f}$  nun primeiro par de bases, e ${\displaystyle P}$ , ${\displaystyle Q}$  son as matrices de cambio de bases.

• Para unha familia, o seu rango corresponde ao número máximo de vectores que pode conter unha subfamilia libre desta familia.
• Tamén podemos definir o rango dunha familia ${\displaystyle u}$  por : ${\displaystyle {\text{rank}}(u)=\dim({\text{Vect}}(u))}$  .

Nota : se ${\displaystyle (u_{1},\dots ,u_{n})}$  é unha familia de vectores indexados polos enteiros de 1 a ${\displaystyle n}$ , entón o rango de ${\displaystyle u}$  é o rango do mapa linear $${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}\rightarrow E:(r_{1},\dots ,r_{n})\mapsto \sum r_{i}u_{i}}$$ Onde ${\displaystyle \mathbb {K} }$  é o corpo dos escalares. A razón é esta : ${\displaystyle {\text{Vect}}(u)}$  é a imaxe deste mapa linear.

Teorema do rango: sexa ${\displaystyle f}$  unha aplicación linear de ${\displaystyle E}$  en ${\displaystyle F}$ , ${\displaystyle \dim(E)={\text{rank}}(f)+\dim({\text{Ker}}(f))}$ 

No anterior, asumimos que o corpo dos escalares é conmutativo. Podemos estender a noción de rango dunha matriz ao caso en que o corpo de escalares non é necesariamente conmutativo, pero a definición é un pouco máis delicada.

Sexa ${\displaystyle K}$  un corpo non necesariamente conmutativo e ${\displaystyle M}$  unha matriz con m filas e n columnas con coeficientes en ${\displaystyle \mathbb {K} }$ . Chamamos rango de ${\displaystyle M}$  (en relación con ${\displaystyle K}$ ) á dimensión do subespazo xerado polas columnas de ${\displaystyle M}$  en ${\displaystyle K^{m}}$  equipado coa súa estrutura de ${\displaystyle K}$ -espazo vectorial pola dereita^[1]. Demostramos que o rango de ${\displaystyle M}$  tamén é igual á dimensión do subespazo xerado polas filas de ${\displaystyle M}$  en ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$  equipado coa súa estrutura de espazo vectorial K pola esquerda^[2].

Considere por exemplo un corpo non conmutativo K e a matriz ${\displaystyle A:={\begin{pmatrix}a&1\\ca&c\\\end{pmatrix}}}$ , onde ${\displaystyle a}$  e ${\displaystyle c}$  son dous elementos de ${\displaystyle K}$  que non conmutan (e son distintos de cero).

As dúas filas desta matriz están relacionadas linearmente no espazo vectorial pola esquerda ${\displaystyle K^{2}}$ , porque ${\displaystyle c(a,1)-(ca,c)=(0,0)}$ . Do mesmo xeito, as dúas columnas están relacionadas no espazo vectorial pola dereita ${\displaystyle K^{2}}$ , porque ${\displaystyle (a,ca)-(1,c)a=(0,0)}$ . O rango da matriz é, polo tanto, igual a 1.

Por outra banda, as dúas columnas non están relacionadas no espazo vectorial pola esquerda ${\displaystyle K^{2}}$ . De feito, sexan ${\displaystyle d}$ , ${\displaystyle e}$  escalares tal que ${\displaystyle d(a,ca)+e(1,c)=(0,0)}$ . Entón (primeiros compoñentes) ${\displaystyle e=-da}$ , polo tanto (segundos compoñentes) ${\displaystyle dca-dac=0}$ . Posto que ${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle c}$  non conmutan, isto resulta en ${\displaystyle d=0}$  (ao multiplicar por ${\displaystyle d^{-1}}$  obtemos unha contradición) . Demostramos así que as dúas columnas da matriz son linearmente independentes no espazo vectorial pola esquerda ${\displaystyle K^{2}}$ .

• Roger A. Horn and Charles R. Johnson (1985). Matrix Analysis. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-38632-6. 
• Kaw, Autar K. Two Chapters from the book Introduction to Matrix Algebra: 1. Vectors [1] and System of Equations [2]
• Mike Brookes: Matrix Reference Manual. [3]

• Rango dun módulo libre.

• WolframAlpha matrix rank calculator.