Кон'юнкція — Вікіпедія

Кон'юнкція (лат. conjangere — об'єднувати) (операція AND) — двомісна операція, що має значення «істина», якщо всі операнди мають значення «істина». Операція передбачає вживання сполучника «і» в логічних висловлюваннях.

Позначення[ред. | ред. код]

And зазвичай виражається з префіксним оператором ${\displaystyle K}$, або інфіксним оператором. У математичній логіці інфіксний оператор зазвичай ${\displaystyle \land }$, в електроніці ${\displaystyle \cdot }$, а в мовах програмування & або and.

Правила усунення[ред. | ред. код]

${\displaystyle A}$,

${\displaystyle B}$.

Отже, ${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle B}$.

Або в позначенні логічного оператора:

${\displaystyle A}$,

${\displaystyle B}$

${\displaystyle \vdash A\land B}$

Приклад:

Петро любить яблука.

Петро любить сало.

Отже, Петро любить яблука і сало.

Кон'юктивне усунення є іншим класичним дійсним, простим аргументом форми. Інтуїтивно це дає змогу зробити висновок з будь-якої кон'юнкції або елемента цієї кон'юнкції.

${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle B}$.

Отже, ${\displaystyle A}$.

...або навпаки,

${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle B}$.

Отже, ${\displaystyle B}$.

У позначенні логічного оператора:

${\displaystyle A\land B}$

${\displaystyle \vdash A}$

...або навпаки,

${\displaystyle A\land B}$

${\displaystyle \vdash B}$

Визначення[ред. | ред. код]

Таблиця істинності виглядає так:

${\displaystyle ~A}$	${\displaystyle ~B}$	${\displaystyle A\land B}$
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Відповідною операцією в теорії множин є перетин множин.

Властивості[ред. | ред. код]

• асоціативність

${\displaystyle a\land (b\land c)\equiv (a\land b)\land c}$

• комутативність

${\displaystyle a\land b\equiv b\land a}$

• дистрибутивність

${\displaystyle a\land (b\lor c)\equiv (a\land b)\lor (a\land c)}$

${\displaystyle a\land (b\land c)\equiv (a\land b)\land (a\land c)}$

${\displaystyle a\land (b\oplus c)\equiv (a\land b)\oplus (a\land c)}$

• ідемпотентність

${\displaystyle a\land a\equiv a}$

• монотонність

${\displaystyle (a\rightarrow b)\rightarrow ((c\land a)\rightarrow (c\land b))}$

${\displaystyle (a\rightarrow b)\rightarrow ((a\land c)\rightarrow (b\land c))}$

Функціональна повнота[ред. | ред. код]

Множина операцій ${\displaystyle \{\land ,\lnot \}}$ є функціонально повною:

${\displaystyle a\lor b\equiv \lnot (\lnot a\land \lnot b)}$

${\displaystyle a\rightarrow b\equiv \lnot (a\land \lnot b)}$

${\displaystyle a\;|\;b\equiv \lnot (a\land b)}$

${\displaystyle a\downarrow b\equiv \lnot a\land \lnot b}$

Кон'юнкція в програмуванні[ред. | ред. код]

У комп'ютерному програмуванні і цифровій електроніці високого рівня логічне множення широко представлене інфіксним оператором зазвичай ключовими словами або символами, такими як: AND, алгебраїчне множення, або символ &. Логічні зв'язки часто використовуються для бітових операцій, де 0 відповідає хибі та 1 відповідає істині:

• 0 AND 0  =  0,
• 0 AND 1  =  0,
• 1 AND 0  =  0,
• 1 AND 1  =  1.

Операція може бути застосована і до двох бінарних виразів рівної довжини, приймаючи побітове AND кожної пари бітів на відповідних позиціях. Наприклад:

• 11000110 AND 10100011  =  10000010.

Див. також[ред. | ред. код]

• Булева множина
• Правила де Моргана

Література[ред. | ред. код]

• Кон'юнкція // Філософський енциклопедичний словник / В. І. Шинкарук (гол. редкол.) та ін. — Київ : Інститут філософії імені Григорія Сковороди НАН України : Абрис, 2002. — 742 с. — 1000 екз. — ББК 87я2. — ISBN 966-531-128-X.

п о р Логічні операції Тавтологія ( ${\displaystyle \top }$ ) NAND ( ${\displaystyle \uparrow }$ ) · Обернена імплікація (${\displaystyle \leftarrow }$) · Імплікація (${\displaystyle \rightarrow }$) · OR (${\displaystyle \lor }$) Заперечення (${\displaystyle \neg }$) · XOR (${\displaystyle \oplus }$) · Еквівалентність (${\displaystyle \leftrightarrow }$) · Твердження (Цифровий буфер[en]) NOR (${\displaystyle \downarrow }$) · Неімплікація (${\displaystyle \nrightarrow }$) · Обернена неімплікація (${\displaystyle \nleftarrow }$) · AND (${\displaystyle \land }$) Суперечність (${\displaystyle \bot }$)