Просторами L p {\displaystyle L^{p}} в математиці називаються простори вимірних функцій , які при піднесенні до степеня p {\displaystyle p\,} (де p ⩾ 1 {\displaystyle p\geqslant 1} ) є інтегровними за Лебегом .
L p {\displaystyle \ L^{p}} — найважливіший клас банахових просторів . Окрім того, L 2 {\displaystyle \ L^{2}} — класичний приклад гільбертового простору .
Визначення 1. Нехай задано простір з мірою ( X , F , μ ) {\displaystyle (X,\;{\mathcal {F}},\;\mu )} . Зафіксуємо 1 ⩽ p < ∞ {\displaystyle 1\leqslant p<\infty } і розглянемо множину вимірних функцій , визначених на цьому просторі, таких що
∫ X | f ( x ) | p μ ( d x ) < ∞ . {\displaystyle \int \limits _{X}|f(x)|^{p}\,\mu (dx)<\infty .} Позначимо цю множину L p ( X , F , μ ) {\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(X,\;{\mathcal {F}},\;\mu )} або просто L p {\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}} .
Теорема 1. L p ( X , F , μ ) {\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(X,\;{\mathcal {F}},\;\mu )} є лінійним простором . Доведення одержується з елементарних властивостей інтеграла Лебега , а також нерівності Мінковського .
На цьому лінійному просторі можна ввести напівнорму :
‖ f ‖ p = ( ∫ X | f ( x ) | p μ ( d x ) ) 1 p . {\displaystyle \|f\|_{p}=\left(\int \limits _{X}|f(x)|^{p}\,\mu (dx)\right)^{\frac {1}{p}}.} Додатність і однорідність є наслідками властивостей інтеграла Лебега, а нерівність Мінковського є нерівністю трикутника для цієї напівнорми.
Замітка 1. Введена таким чином напівнорма не є нормою , бо якщо f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0\,} майже всюди , то ‖ f ‖ p = 0 {\displaystyle \|f\|_{p}=0} , що суперечить вимогам до норми. Щоб перетворити простір з напівнормою в простір з нормою, необхідно ототожнити функції, що розрізняються між собою лише на множині міри нуль.
Визначення 2. Введемо на L p {\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}} відношення еквівалентності :
f ∼ g {\displaystyle f\!\sim g} , якщо f ( x ) = g ( x ) {\displaystyle f(x)=g(x)\,} майже всюди . Це відношення розбиває простір L p {\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}\,} на класи еквівалентності , причому напівнорми будь-яких двох представників одного і того ж класу збігаються.
Тоді на побудованому фактор-просторі (тобто множині класів еквівалентності) L p / ∼ {\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}/\sim } можна ввести норму рівну напівнормі будь-якого представника даного класу. За визначенням, всі аксіоми напівнорми збережуться, і додатково через викладену побудову виявляється виконаною і додатна визначеність.
Визначення 3. Фактор-простір ( L p / ∼ , ‖ ⋅ ‖ p ) {\displaystyle \left({\mathcal {L}}^{p}/\!\sim ,\;\|\cdot \|_{p}\right)} з побудованою на ньому нормою називається простором L p ( X , F , μ ) {\displaystyle L^{p}(X,\;{\mathcal {F}},\;\mu )} або просто L p {\displaystyle L^{p}\,} .
При 0 < p < 1 {\displaystyle 0<p<1\,} , L p {\displaystyle L_{p}\,} не утворюють нормованого простору, оскільки не виконується нерівність трикутника (точніше, виконується зворотна нерівність трикутника: при 0 < p < 1 {\displaystyle 0<p<1\,} ∀ f , g ∈ L p ( Ω ) : { ∫ Ω | f ( x ) + g ( x ) | p d x } 1 p ≥ { ∫ Ω | f ( x ) | p d x } 1 p + { ∫ Ω | g ( x ) | p d x } 1 p {\displaystyle \forall f,g\in L_{p}(\Omega ):\{\int \limits _{\Omega }|f(x)+g(x)|^{p}dx\}^{\frac {1}{p}}\geq \{\int \limits _{\Omega }|f(x)|^{p}dx\}^{\frac {1}{p}}+\{\int \limits _{\Omega }|g(x)|^{p}dx\}^{\frac {1}{p}}} ), проте утворюють метричні простори .
Введена вище норма разом з лінійною структурою породжує метрику
d ( f , g ) = ‖ f − g ‖ p , {\displaystyle d(f,\;g)=\|f-g\|_{p},} а отже і поняття збіжності.
Визначення 3. Нехай є послідовність функцій { f n } n = 1 ∞ ⊂ L p {\displaystyle \{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }\subset L^{p}} . Тоді ця послідовність збігається до функції f ∈ L p {\displaystyle f\in L^{p}} , якщо
‖ f n − f ‖ p → 0 {\displaystyle \|f_{n}-f\|_{p}\to 0} при n → ∞ . {\displaystyle n\to \infty .} Теорема 2. Простір L p {\displaystyle L^{p}\,} є повним, тобто будь-яка фундаментальна послідовність L p {\displaystyle L^{p}\,} збігається до елементу цього ж простору. Таким чином, L p {\displaystyle L^{p}\,} — банахів простір .
У випадку p = 2 {\displaystyle p=2\,} введена вище норма породжується скалярним добутком . Таким чином, разом з поняттям довжини тут має сенс і поняття кута, а отже і суміжні поняття, такі, як ортогональність , проєкція і ін.
Визначення 4. Введемо на просторі L 2 {\displaystyle L^{2}} скалярний добуток таким чином:
⟨ f , g ⟩ = ∫ X f ( x ) g ( x ) ¯ μ ( d x ) {\displaystyle \langle f,\;g\rangle =\int \limits _{X}f(x)\,{\overline {g(x)}}\mu (dx)} у випадку, якщо дані функції комплекснозначні , або
⟨ f , g ⟩ = ∫ X f ( x ) g ( x ) μ ( d x ) , {\displaystyle \langle f,\;g\rangle =\int \limits _{X}f(x)\,{g(x)}\mu (dx),} якщо вони дійсні. Тоді, очевидно:
‖ f ‖ 2 = ⟨ f , f ⟩ , {\displaystyle \|f\|_{2}={\sqrt {\langle f,\;f\rangle }},} тобто норма породжується скалярним добутком. Використовуючи це разом з результатом про повноту будь-якого L p {\displaystyle L^{p}\,} , одержуємо:
Теорема 3. Простір L 2 {\displaystyle L^{2}\,} — гільбертів .
Розглянемо простір L ∞ ( X , F , μ ) {\displaystyle {\mathcal {L}}^{\infty }(X,\;{\mathcal {F}},\;\mu )} вимірних функцій, обмежених майже усюди. Ототожнивши між собою функції, що розрізняються лише на множині міри нуль, і поклавши за визначенням
‖ f ‖ ∞ = e s s sup x ∈ X | f ( x ) | , {\displaystyle \|f\|_{\infty }=\mathrm {ess} \sup \limits _{x\in X}|f(x)|,} одержуємо банахів простір.
Метрика, що породжується цією нормою, називається рівномірною . Так само називається і збіжність, породжена такою метрикою:
f n → f {\displaystyle f_{n}\to f} у L ∞ {\displaystyle L^{\infty }} , якщо e s s sup x ∈ X | f n ( x ) − f ( x ) | → 0 {\displaystyle \mathrm {ess} \sup \limits _{x\in X}|f_{n}(x)-f(x)|\to 0} при n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } . Із збіжності функцій майже всюди не випливає збіжність в просторі L p {\displaystyle L^{p}\,} . Нехай f n ( x ) = n 1 / p {\displaystyle f_{n}(x)=n^{1/p}\,} при x ∈ ( 0 , 1 / n ] {\displaystyle x\in (0,1/n]} і f n ( x ) = 0 {\displaystyle f_{n}(x)=0\,} при x ∈ ( 1 / n , 1 ] {\displaystyle x\in (1/n,1]} , f n ∈ L p {\displaystyle f_{n}\in L^{p}} . Тоді f n → 0 {\displaystyle f_{n}\to 0} майже всюди. Але ‖ f n ‖ p p = ∫ 0 1 | f n | p d μ = 1 {\displaystyle \|f_{n}\|_{p}^{p}=\int _{0}^{1}|f_{n}|^{p}d\mu =1} . Зворотне твердження також невірне. Якщо ‖ f n − f ‖ p → 0 {\displaystyle \|f_{n}-f\|_{p}\to 0} при n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } , то існує підпослідовність f n k {\displaystyle f_{n_{k}}} , така що f n k → f {\displaystyle f_{n_{k}}\to f} майже всюди. L p {\displaystyle L^{p}\,} функції на числовій прямій можуть бути наближені гладкими функціями. Нехай L C ∞ p ( R , B ( R ) , m ) {\displaystyle L_{C^{\infty }}^{p}(\mathbb {R} ,\;{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),\;m)} — підмножина L p ( R , B ( R ) , m ) {\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ,\;{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),\;m)} , що складається з нескінченно гладких функцій. Тоді L C ∞ p {\displaystyle L_{C^{\infty }}^{p}} всюди щільна в L p {\displaystyle L^{p}} . L p ( R , B ( R ) , m ) {\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ,\;{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),\;m)} — сепарабельний простір . Якщо μ {\displaystyle \mu \,} — скінченна міра, наприклад, ймовірність , і 1 ⩽ p ⩽ q ⩽ ∞ {\displaystyle 1\leqslant p\leqslant q\leqslant \infty } , то L q ⊂ L p {\displaystyle L^{q}\subset L^{p}} . Зокрема L 2 ⊂ L 1 {\displaystyle L^{2}\subset L^{1}} , тобто випадкова величина зі скінченним другим моментом має скінченний перший момент. Нехай ( L p ) ⋆ {\displaystyle \left(L^{p}\right)^{\star }} є простором спряженим до L p {\displaystyle L^{p}\,} (так званий копростір ). За визначенням, елемент g ∈ ( L p ) ⋆ {\displaystyle g\in \left(L^{p}\right)^{\star }} є лінійним функціоналом на L p {\displaystyle L^{p}\,} .
Теорема 4. Якщо 1 < p < ∞ {\displaystyle 1<p<\infty } , то ( L p ) ⋆ {\displaystyle \left(L^{p}\right)^{\star }} ізоморфний L q {\displaystyle L^{q}\,} (пишемо ( L p ) ⋆ ≅ L q {\displaystyle \left(L^{p}\right)^{\star }\cong L^{q}} ), де 1 / p + 1 / q = 1 {\displaystyle 1/p+1/q=1\,} . Будь-який лінійний функціонал на L p {\displaystyle L^{p}\,} має вигляд:
g ( f ) = ∫ X f ( x ) g ~ ( x ) μ ( d x ) , {\displaystyle g(f)=\int \limits _{X}f(x)\,{\tilde {g}}(x)\,\mu (dx),} де g ~ ( x ) ∈ L q {\displaystyle {\tilde {g}}(x)\in L^{q}} .
Через симетрію рівняння 1 / p + 1 / q = 1 {\displaystyle 1/p+1/q=1\,} сам простір L p {\displaystyle L^{p}\,} є дуальним (з точністю до ізоморфізму) до L q {\displaystyle L^{q}\,} , а отже:
( L p ) ⋆ ⋆ ≅ L p . {\displaystyle \left(L^{p}\right)^{\star \star }\cong L^{p}.} Цей результат справедливий і для випадку p = 1 {\displaystyle p=1\,} , тобто ( L 1 ) ⋆ = L ∞ {\displaystyle \left(L^{1}\right)^{\star }=L^{\infty }} . Проте ( L ∞ ) ⋆ ≇ L 1 {\displaystyle \left(L^{\infty }\right)^{\star }\not \cong L^{1}} і, зокрема ( L 1 ) ⋆ ⋆ ≇ L 1 {\displaystyle \left(L^{1}\right)^{\star \star }\not \cong L^{1}} .
Нехай ( X , F , μ ) = ( N , 2 N , m ) {\displaystyle (X,\;{\mathcal {F}},\;\mu )=\left(\mathbb {N} ,\;2^{\mathbb {N} },\;m\right)} , де m {\displaystyle m\,} — зліченна міра на N {\displaystyle \mathbb {N} } , тобто m ( { n } ) = 1 , ∀ n ∈ N {\displaystyle m(\{n\})=1,\;\forall n\in \mathbb {N} } . Тоді якщо p < ∞ {\displaystyle p<\infty } , то й простір L p ( N , 2 N , m ) {\displaystyle L^{p}\left(\mathbb {N} ,\;2^{\mathbb {N} },\;m\right)} є множиною послідовностей { x n } n = 1 ∞ {\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }} , таких що
∑ n = 1 ∞ | x n | p < ∞ . {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}<\infty .} Відповідно, норма на цьому просторі задається
‖ x ‖ p = ( ∑ n = 1 ∞ | x n | p ) 1 p . {\displaystyle \|x\|_{p}=\left(\sum \limits _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}.} Одержаний нормований простір позначається l p {\displaystyle l^{p}\,} .
Якщо p = ∞ {\displaystyle p=\infty } , то ми розглядаємо простір обмежених послідовностей з нормою
‖ x ‖ ∞ = sup n ∈ N | x n | . {\displaystyle \|x\|_{\infty }=\sup \limits _{n\in \mathbb {N} }|x_{n}|.} Одержаний нормований простір позначається l ∞ {\displaystyle l^{\infty }} . Він є прикладом несепарабельного простору.
Як і в загальному випадку, поклавши p = 2 {\displaystyle p=2\,} , ми одержуємо гільбертів простір l 2 {\displaystyle l^{2}\,} , норма якого породжена скалярним добутком
⟨ x , y ⟩ = ∑ n = 1 ∞ x n y n ¯ , {\displaystyle \langle x,\;y\rangle =\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}{\overline {y_{n}}},} якщо послідовності комплекснозначні, і
⟨ x , y ⟩ = ∑ n = 1 ∞ x n y n , {\displaystyle \langle x,\;y\rangle =\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}{y_{n}},} якщо вони дійсні.
Простір, дуальний l p {\displaystyle l^{p}\,} , де 1 ⩽ p < ∞ {\displaystyle 1\leqslant p<\infty } ізоморфний l q {\displaystyle l^{q}\,} , 1 / p + 1 / q = 1 {\displaystyle 1/p+1/q=1\,} .
Простори
Теореми Оператори Алгебри Проблеми Застосування Узагальнення