Розподіл Діріхле |
---|
|
Параметри | число категорій (ціле) параметри концентрації, де |
---|
Носій функції | where and |
---|
Розподіл імовірностей | де де |
---|
Середнє |
(див. Дигамма-функція) |
---|
Мода | |
---|
Дисперсія | де і |
---|
Ентропія | при визначина як для варіації вище. |
---|
Твірна функція моментів (mgf) | {{{mgf}}} |
---|
Характеристична функція | {{{char}}} |
У теорії імовірностей і математичній статистиці розподіл Діріхле (за іменем Йоганна Петера Густава Лежьона-Діріхле), позначають часто — це сімейство безупинних багатовимірних вірогідних розподілів невід’ємних дійсних чисел, параметризованих вектором . Розподіл Діріхле є узагальненням Бета-розподілу на багатовимірний випадок. Тобто, його функція щільності повертає значення імовірності того, що імовірність кожного з K взаємновиключних подій дорівнює за умови, що кожна подія спостерігалася раз.
Функція щільності імовірності[ред. | ред. код]
Функція щільності імовірності для розподілу Діріхле порядку K має вигляд:
де , , i .
Нехай i тоді
Модою розподілу є вектор з
Розподіл Діріхле є сполученим апріорним розподілом до мультиноміального розподілу, а саме: якщо
де - число входжень і у вибірку з n точок дискретного розподілу на {1, ..., K}, визначеного через X, то
Цей зв'язок використовується в Байєсівській статистиці для того, щоб оцінити приховані параметри дискретного імовірносного розподілу , маючи набір з n вибірок. Очевидно, якщо апріорний розподіл позначений як , то - це апостеріорний розподіл після серії спостережень з гістограмою .
Зв'язок з іншими розподілами[ред. | ред. код]
Якщо для
- незалежні, то
і
Попри те, що Xі не є незалежними один від одного, вони можуть бути згенерованні з набору з незалежних гама випадкових величин. Однак, тому що сума губиться в процесі формування , стає неможливо відновити початкові значення гамма-випадкових величин тільки за цими значеннями. Проте, завдяки тому, що працювати з незалежними випадковими величинами простіше, це перетворення параметрів може бути корисно при доведенні властивостей розподілу Діріхле.
Генерація випадкових чисел[ред. | ред. код]
Метод побудови випадкового вектора для розподілу Діріхле розмірності K з параметрами випливає безпосередньо з цього зв'язку. Спочатку одержимо K незалежних випадкових вибірок з гамма-розподілів, кожен з який має щільність
а потім покладемо
Наочне трактування параметрів[ред. | ред. код]
Як приклад використання розподілу Діріхле можна запропонувати задачу, у якій потрібно розрізати нитки (кожна початкової довжини 1.0) на K частин з різними довжинами так, щоб усі частини мали задану середню довжину, але з можливістю деякої варіації відносних довжин частин. Значення α/α0 визначають середні довжини частин нитки, що вийшли з розподілу. Дисперсія навколо середнього значення зворотньо пропорційна α0.
|
---|
| | | Дискретні одновимірні зі скінченним носієм | |
---|
| Дискретні одновимірні з нескінченним носієм | |
---|
| Неперервні одновимірні з носієм на обмеженому проміжку | |
---|
| Неперервні одновимірні з носієм на напів-нескінченному проміжку | |
---|
| Неперервні одновимірні з носієм на всій дійсній прямій | |
---|
| Неперервні одновимірні з носієм змінного типу | |
---|
| Змішані неперервно-дискретні одновимірні | |
---|
| Багатовимірні (спільні) | |
---|
| Напрямкові[en] | |
---|
| Вироджені та сингулярні[en] | |
---|
| Сімейства | |
---|
|