Espazo vectorial normado , a enciclopedia libre

Un espazo vectorial normado é un espazo vectorial equipado cunha norma. Un espazo vectorial seminormado é un espazo vectorial equipado cunha seminorma.

Unha variación útil da desigualdade triangular é

${\displaystyle \|x-y\|\geq |\|x\|-\|y\||}$ 

para calquera vector ${\displaystyle x}$  e ${\displaystyle y.}$ 

Isto tamén demostra que unha norma vectorial é unha función (uniformemente) continua.

A propiedade 3 depende da escolla dunha norma ${\displaystyle |\alpha |}$  no corpo dos escalares. Cando o corpo escalar é ${\displaystyle \mathbb {R} }$  (ou máis xeralmente un subconxunto de ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ), soe considerarse o valor absoluto ordinario, mais son posíbeis outras opcións. Por exemplo, para un espazo vectorial sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} }$  poderíamos facer que ${\displaystyle |\alpha |}$  fose o valor absoluto ${\displaystyle p}$ -ádico.

Se ${\displaystyle (V,\|\,\cdot \,\|)}$  é un espazo vectorial normado, a norma ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|}$  induce unha métrica (unha noción de distancia) e, polo tanto, unha topoloxía en ${\displaystyle V.}$  Esta métrica defínese de xeito natural: a distancia entre dous vectores ${\displaystyle \mathbf {u} }$  e ${\displaystyle \mathbf {v} }$  está dado por ${\displaystyle \|\mathbf {u} -\mathbf {v} \|.}$  Esta topoloxía é precisamente a topoloxía máis débil que fai que ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|}$  sexa continuo e compatíbel coa estrutura linear de ${\displaystyle V}$  no seguinte sentido:

1. A suma vectorial ${\displaystyle \,+\,:V\times V\to V}$  é conxuntamente continua en relación a esta topoloxía. Isto dedúcese directamente da desigualdade triangular.
2. A multiplicación escalar ${\displaystyle \,\cdot \,:\mathbb {K} \times V\to V,}$  onde ${\displaystyle \mathbb {K} }$  é o corpo escalar subxacente de ${\displaystyle V,}$  é conxuntamente continua. Isto dedúcese da desigualdade triangular e da homoxeneidade da norma.

De especial interese son os espazos normados completos, coñecidos como espazos de Banach. Todo espazo vectorial normado ${\displaystyle V}$  atópase como un subespazo denso dentro dalgún espazo de Banach; este espazo de Banach está esencialmente definido de forma única por ${\displaystyle V}$  e chámase a completamento de ${\displaystyle V.}$ 

Un espazo vectorial normado ${\displaystyle V}$  é localmente compacto se e só se a bóla unitaria ${\displaystyle B=\{x:\|x\|\leq 1\}}$  é compacta, o que ocorre se e só se ${\displaystyle V}$  é de dimensión finita; isto é unha consecuencia do lema de Riesz. (De feito, un resultado máis xenérico é certo: un espazo vectorial topolóxico é localmente compacto se e só se é de dimensión finita. A cuestión aquí é que non asumimos que a topoloxía provén dunha norma).

A topoloxía dun espazo vectorial seminormado ten moitas propiedades interesantes. Dado un sistema de veciñanza ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0)}$  arredor de 0 podemos construír todos os demais sistemas de veciñanza como

${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)=x+{\mathcal {N}}(0):=\{x+N:N\in {\mathcal {N}}(0)\}}$ 

con ${\displaystyle x+N:=\{x+n:n\in N\}.}$ 

A maiores, existe unha base de veciñanzas para a orixe que consiste en conxuntos absorbentes e convexos. Como esta propiedade é moi útil na análise funcional, as xeneralizacións de espazos vectoriais normados con esta propiedade estúdanse baixo o nome de espazos localmente convexos.

Unha norma (ou seminorma) ${\displaystyle \|\cdot \|}$  nun espazo vectorial topolóxico ${\displaystyle (X,\tau )}$  é continua se e só se a topoloxía ${\displaystyle \tau _{\|\cdot \|}}$  que ${\displaystyle \|\cdot \|}$  induce en ${\displaystyle X}$  é máis grosa que ${\displaystyle \tau }$  (é dicir, ${\displaystyle \tau _{\|\cdot \|}\subseteq \tau }$ ), o que ocorre se e só se existe algunha bóla aberta ${\displaystyle B}$  en ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$  (como se cadra${\displaystyle \{x\in X:\|x\|<1\}}$  por exemplo) que está aberto en ${\displaystyle (X,\tau )}$  (dito de xeito diferente, de tal xeito que ${\displaystyle B\in \tau }$ ).

Un espazo vectorial topolóxico ${\displaystyle (X,\tau )}$  chámase normábel se existe unha norma ${\displaystyle \|\cdot \|}$  en ${\displaystyle X}$  de tal xeito que a métrica canónica ${\displaystyle (x,y)\mapsto \|y-x\|}$  induce a topoloxía ${\displaystyle \tau }$  en ${\displaystyle X.}$  O seguinte teorema débese a Kolmogorov: ^[3]

Criterio de normabilidade de Kolmogorov: un espazo vectorial topolóxico de Hausdorff é normábel se e só se existe unha veciñanza convexa e limitada de von Neumann de ${\displaystyle 0\in X.}$ 

Os mapas máis importantes entre dous espazos vectoriais normados son as aplicacións lineares continuas. Xunto con estes mapas, os espazos vectoriais normados forman unha categoría.

A norma é unha función continua no seu espazo vectorial. Todas as aplicacións lineares entre espazos vectoriais de dimensión finita tamén son continuas.

Unha isometría entre dous espazos vectoriais normados é unha aplicación linear ${\displaystyle f}$  que preserva a norma (é dicir, ${\displaystyle \|f(\mathbf {v} )\|=\|\mathbf {v} \|}$  para todos os vectores ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ). As isometrías son sempre continuas e inxectivas. Unha isometría sobrexectiva entre os espazos vectoriais normados ${\displaystyle V}$  e ${\displaystyle W}$  chámase isomorfismo isométrico e ${\displaystyle V}$  e ${\displaystyle W}$  chámanse isométricamente isomóorfos. Os espazos vectoriais normados isometricamente isomorfos son idénticos para todos os fins prácticos.

Ao falar de espazos vectoriais normados, ampliamos a noción de espazo dual para ter en conta a norma. O dual ${\displaystyle V^{\prime }}$  dun espazo vectorial normado ${\displaystyle V}$  é o espazo de todas as aplicacións lineares continuas desde ${\displaystyle V}$  ao corpo base (os complexos ou os reais): estas aplicacións lineares chámanse "funcionais".

A norma dun funcional ${\displaystyle \varphi }$  defínese como o supremo de ${\displaystyle |\varphi (\mathbf {v} )|}$  onde ${\displaystyle \mathbf {v} }$  ten o seu rango sobre todos os vectores unitarios (é dicir, vectores de norma ${\displaystyle 1}$ ) en ${\displaystyle V.}$  Isto fai de ${\displaystyle V^{\prime }}$  tamén un espazo vectorial normado.

Un teorema importante sobre os funcionais lineares continuos en espazos vectoriais normados é o teorema de Hahn-Banach.

• Jarchow, Hans (1981). Locally Convex Spaces. Mathematische Leitfäden. [Mathematical Textbooks]. B. G. Teubner, Stuttgart. ISBN 3-519-02224-9. MR 632257. 
• Banach, Stefan (1932). Théorie des Opérations Linéaires [Theory of Linear Operations] (PDF). Monografie Matematyczne (en francés) 1. Warszawa: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej. Zbl 0005.20901. Arquivado dende o orixinal (PDF) o 2014-01-11. Consultado o 2020-07-11. 
• Rolewicz, Stefan (1987). Functional analysis and control theory: Linear systems. Mathematics and its Applications (East European Series) 29 (Translated from the Polish by Ewa Bednarczuk ed.). Dordrecht; Warsaw: D. Reidel Publishing Co.; PWN—Polish Scientific Publishers. pp. xvi+524. ISBN 90-277-2186-6. MR 920371. OCLC 13064804. doi:10.1007/978-94-015-7758-8. 
• Schaefer, H. H. (1999). Topological Vector Spaces. New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135. 

• Espazo de Banach
• Espazo prehilbertiano
• Espazo (matemáticas)