Álxebra exterior , a enciclopedia libre

O espazo vectorial euclidiano bidimensional ${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}}$  é un espazo vectorial real equipado cunha base formada por un par de vectores unitarios ortogonais

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},\quad \mathbf {e} _{2}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}.}$ 

Supoñamos que

${\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}=a\mathbf {e} _{1}+b\mathbf {e} _{2},\quad \mathbf {w} ={\begin{bmatrix}c\\d\end{bmatrix}}=c\mathbf {e} _{1}+d\mathbf {e} _{2}}$ 

son un par de vectores dados en ${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}}$  escrito en compoñentes. Hai un paralelogramo único que ten ${\displaystyle \mathbf {v} }$  e ${\displaystyle \mathbf {w} }$  como dous dos seus lados. A área deste paralelogramo vén dada pola fórmula do determinante estándar: $${\displaystyle {\text{Area}}=\left|\det {\begin{bmatrix}\mathbf {v} &\mathbf {w} \end{bmatrix}}\right|=\left|\det {\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}\right|=\left|ad-bc\right|.}$$ 

Consideremos agora o produto exterior de ${\displaystyle \mathbf {v} }$  and ${\displaystyle \mathbf {w} }$ :

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} \wedge \mathbf {w} &=(a\mathbf {e} _{1}+b\mathbf {e} _{2})\wedge (c\mathbf {e} _{1}+d\mathbf {e} _{2})\\&=ac\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{1}+ad\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}+bc\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{1}+bd\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{2}\\&=\left(ad-bc\right)\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2},\end{aligned}}}$ 

onde o primeiro paso utiliza a lei distributiva para o produto exterior, e o último usa o feito de que o produto exterior é un mapa alternante, e en particular ${\displaystyle \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{1}=-(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}).}$  Nótese que o coeficiente desta última expresión é precisamente o determinante da matriz [v w] . O feito de que isto poida ser positivo ou negativo ten o significado intuitivo de que v e w poden estar orientados no sentido antihorario ou no sentido horario como os vértices do paralelogramo que definen. Tal área chámase área con signo do paralelogramo: o valor absoluto da área con signo é a área ordinaria e o signo determina a súa orientación.

En detalle, se A(v, w) denota a área con signo do paralelogramo do cal o par de vectores v e w forman dous lados adxacentes, entón A debe satisfacer as seguintes propiedades:

1. A(rv, sw) = rsA(v, w) para todo número real r, s.
2. A(v, v) = 0.
3. A(w, v) = −A(v, w).
4. A(v + rw, w) = A(v, w) para todo número rea r.
5. A(e₁, e₂) = 1.

Para os vectores en R ³, a álxebra exterior está moi relacionada co produto vectorial e o produto triplo. Usando a base estándar {e₁, e₂, e₃}, o produto exterior dun par de vectores

${\displaystyle \mathbf {u} =u_{1}\mathbf {e} _{1}+u_{2}\mathbf {e} _{2}+u_{3}\mathbf {e} _{3}}$ 

${\displaystyle \mathbf {v} =v_{1}\mathbf {e} _{1}+v_{2}\mathbf {e} _{2}+v_{3}\mathbf {e} _{3}}$ 

sería

${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} =(u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1})(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2})+(u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3})(\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{1})+(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2})(\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3})}$ 

onde {e₁ ∧ e₂, e₃ ∧ e₁, e₂ ∧ e₃} é a base para o espazo tridimensional ⋀²(R³). Os coeficientes anteriores son os mesmos que os da definición habitual do produto vectorial de vectores en tres dimensións, a única diferenza é que o produto exterior non é un vector común, senón que é un bivector.

Traendo un terceiro vector

${\displaystyle \mathbf {w} =w_{1}\mathbf {e} _{1}+w_{2}\mathbf {e} _{2}+w_{3}\mathbf {e} _{3},}$ 

o produto exterior de tres vectores é

${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \wedge \mathbf {w} =(u_{1}v_{2}w_{3}+u_{2}v_{3}w_{1}+u_{3}v_{1}w_{2}-u_{1}v_{3}w_{2}-u_{2}v_{1}w_{3}-u_{3}v_{2}w_{1})(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3})}$ 

onde e₁ ∧ e₂ ∧ e₃ é a base de vectores para o espazo un dimensional ⋀³(R³). O coeficiente escalar é o produto triplo dos tres vectores.

A álxebra exterior ${\displaystyle \bigwedge (V)}$  dun espazo vectorial ${\displaystyle V}$  sobre un corpo ${\displaystyle K}$  defínese como a álxebra cociente da álxebra tensorial T (V), onde

${\displaystyle T(V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }T^{k}V=K\oplus V\oplus (V\otimes V)\oplus (V\otimes V\otimes V)\oplus \cdots ,}$ 

polo ideal bilateral ${\displaystyle I}$  xerado por todos os elementos da forma ${\displaystyle x\otimes x}$  tal que ${\displaystyle x\in V}$ . Simbólicamente,

${\displaystyle \bigwedge (V):=T(V)/I.\,}$ 

O produto exterior ${\displaystyle \wedge }$  de dous elementos de ${\displaystyle \bigwedge (V)}$  está definido por

${\displaystyle \alpha \wedge \beta =\alpha \otimes \beta {\pmod {I}}.}$ 

O produto exterior é, por construción, alternante en elementos de ${\displaystyle V}$  o que significa que ${\displaystyle x\wedge x=0}$  para todos os ${\displaystyle x\in V,}$  pola construción anterior. Polo tanto, o produto tamén é anticomutativo en elementos de ${\displaystyle V}$  por exemplo, para ${\displaystyle x,y\in V}$ 

${\displaystyle 0=(x+y)\wedge (x+y)=x\wedge x+x\wedge y+y\wedge x+y\wedge y=x\wedge y+y\wedge x}$ 

polo tanto

${\displaystyle x\wedge y=-(y\wedge x).}$ 

A k-ésima potencia exterior de ${\displaystyle V}$  ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$ , é o subespazo vectorial de ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$  expandidos por elementos da forma

${\displaystyle x_{1}\wedge x_{2}\wedge \cdots \wedge x_{k},\quad x_{i}\in V,i=1,2,\dots ,k.}$ 

Se ${\displaystyle \alpha \in {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$  entón ${\displaystyle \alpha }$  dise que é un K-vector . Se, alén disto, ${\displaystyle \alpha }$  pódese expresar como un produto exterior de ${\displaystyle k}$  elementos de ${\displaystyle V}$  entón ${\displaystyle \alpha }$  dise que é descompoñíbel (ou simple, para algúns autores; ou unha lámina, para outros).

Se a dimensión de ${\displaystyle V}$  é ${\displaystyle n}$  e ${\displaystyle \{e_{1},\dots ,e_{n}\}}$  é unha base para ${\displaystyle V}$ , entón o conxunto

${\displaystyle \{\,e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}~{\big |}~~1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n\,\}}$ 

é unha base ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$ . O motivo é o seguinte: dado calquera produto exterior da forma

${\displaystyle v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{k},}$ 

todo vector ${\displaystyle v_{j}}$  pódese escribir como unha combinación linear dos vectores base ${\displaystyle e_{i}}$  usando a bilinearidade do produto exterior, este pódese expandir a unha combinación linear de produtos exteriores deses vectores base.

En xeral, os coeficientes resultantes dos k-vectores da base pódense calcular como os menores da matriz que describe os vectores ${\displaystyle v_{j}}$  en termos da base ${\displaystyle e_{i}}$ .

Calquera elemento da álxebra exterior pode escribirse como unha suma de k-vectores. Polo tanto, como espazo vectorial a álxebra exterior é unha suma directa

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)={\textstyle \bigwedge }^{\!0}(V)\oplus {\textstyle \bigwedge }^{\!1}(V)\oplus {\textstyle \bigwedge }^{\!2}(V)\oplus \cdots \oplus {\textstyle \bigwedge }^{\!n}(V)}$ 

(onde, por convención, ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!0}(V)=K}$  o corpo ${\displaystyle V}$  ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!1}(V)=V}$ ), e polo tanto a súa dimensión é igual á suma dos coeficientes binomiais, que é ${\displaystyle 2^{n}}$ .

Se ${\displaystyle \alpha \in {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$  entón é posíbel expresar ${\displaystyle \alpha }$  como unha combinación linear de k-vectores descompoñíbeis:

${\displaystyle \alpha =\alpha ^{(1)}+\alpha ^{(2)}+\cdots +\alpha ^{(s)}}$ 

onde cada ${\displaystyle \alpha ^{(i)}}$  é descompoñíbel, digamos

${\displaystyle \alpha ^{(i)}=\alpha _{1}^{(i)}\wedge \cdots \wedge \alpha _{k}^{(i)},\quad i=1,2,\ldots ,s.}$ 

O rango do k-vector ${\displaystyle \alpha }$  é o número mínimo de k-vectores descompoñíbeis nunha expansión deste tipo de ${\displaystyle \alpha }$ . Isto é semellante á noción de rango tensorial.

O produto exterior dun k-vector cun p-vector é un ${\displaystyle (k+p)}$ -vector, invocando unha vez máis a bilinearidade. Como consecuencia, a descomposición de suma directa do apartado anterior

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)={\textstyle \bigwedge }^{\!0}(V)\oplus {\textstyle \bigwedge }^{\!1}(V)\oplus {\textstyle \bigwedge }^{\!2}(V)\oplus \cdots \oplus {\textstyle \bigwedge }^{\!n}(V)}$ 

dálle á álxebra exterior a estrutura adicional dunha álxebra graduada, é dicir

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)\wedge {\textstyle \bigwedge }^{\!p}(V)\subset {\textstyle \bigwedge }^{\!k+p}(V).}$ 

Sexa V un espazo vectorial sobre o corpo K. Informalmente, a multiplicación en ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$  realízase manipulando símbolos e impoñendo unha lei distributiva, unha lei asociativa e utilizando a identidade ${\displaystyle v\wedge v=0}$  para v ∈ V.

Formalmente, ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$  é a álxebra "máis xeral" na que se aplican estas regras para a multiplicación, no sentido de que calquera K-álxebra asociativa unitaria que conteña V con multiplicación alternante en V debe conter unha imaxe homomorfa de ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$ . Noutras palabras, a álxebra exterior ten a seguinte propiedade universal: ^[4]

• Bishop, R.; Goldberg, S.I. (1980). Tensor analysis on manifolds. Dover. ISBN 0-486-64039-6. 

• Bourbaki, Nicolas (1989). Elements of mathematics, Algebra I. Springer-Verlag. ISBN 3-540-64243-9. 

  Esta é a principal referencia matemática para o artigo. ver §III.7 e §III.11.

• Bryant, R.L.; Chern, S.S.; Gardner, R.B.; Goldschmidt, H.L.; Griffiths, P.A. (1991). Exterior differential systems. Springer-Verlag. 

  Este libro contén aplicacións de álxebras exteriores a problemas en ecuacións diferenciais parciais .

• Mac Lane, S.; Birkhoff, G. (1999). Algebra. AMS Chelsea. ISBN 0-8218-1646-2. 

  Capítulo XVI seccións 6–10 dan unha explicación máis elemental da álxebra exterior.

• Sternberg, Shlomo (1964). Lectures on Differential Geometry. Prentice Hall. 

  Contén un tratamento clásico da álxebra exterior como tensores alternantes e aplicacións á xeometría diferencial.

•   Produto
• Álxebra de Clifford
• Álxebra tensorial
• Álxebra de Weyl
• Álxebra multilinear