Трисхилий купол — Вікіпедія

У геометрії трисхилий купол — призматоїд, що складається з правильного шестикутника (нижня основа купола), правильного трикутника (верхня грань, що паралельна основі), та бічних граней: 3 прямокутників та 3 рівнобедрених трикутників.

Належить до родини куполів і є підкласом призматоїдів.

Два куполи можуть бути з'єднані по їх нижній основі, утворюючи багатогранник бікупол^[en], в прямій (якщо з'єднані однойменні грані) або повернутій (якщо з'єднані різнойменні грані) орієнтації.

Багатогранник Джонсона J₃[ред. | ред. код]

Трисхилий купол
Тип	Багатогранник Джонсона J3 Призматоїд, множина куполів.
Властивості	Опуклий, рівносторонній, правильногранний
Комбінаторика
Елементи	8 граней ((3+1){3} + 3{4} + 1{6}) 15 ребер 9 вершин: 6 вершин (3-го степеня) + 3(4-го)
Грані	3+1 Правильних трикутників, 3 Квадрата, 1 Правильний шестикутник.
Характеристика Ейлера	${\displaystyle \chi =\Gamma -{\hbox{P}}+{\hbox{B}}=2}$
Конфігурація вершини	6(3.4.6) 3(3.4.3.4)
Вершинна фігура	3 прямокутника з довжинами сторін 1 та ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ 6 трикутників з довжинами сторін 1, ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$, ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$
Класифікація
Позначення	• J3 (в нотації Нормана Джонсона[en]) • M4 (в нотації Залгаллера[1]) • U3 = Q3 [2] (в нотації Конвея[en]) • Q3 (в нотації Стюарта)
Символ Шлефлі	{3} || t{3}
Група симетрії	C3v[en], [3], (*33), порядок 6 (Циклічна симетрія 3-Піраміди)
Група поворотів	C3, [3]+, (33), порядок 3
Двоїстий багатогранник	Напіврозсічений трикутний трапецоедр
Розгортка

Рівносторонній трисхилий купол є одним із багатогранників Джонсона (J₃ або M₄ (за Залгаллером^[1]).

Трисхилий купол можна розглядати як половину кубооктаедра.

Багатогранник Джонсона — один із 92 строго опуклих багатогранників, що мають правильні грані, але не є однорідним (тобто він не є правильним багатогранником, архімедовим тілом, призмою або антипризмою). Правильногранні багатогранники названі ім'ям Нормана Джонсона^[en], який першим перелічив їх в 1966 р. ^[2]

Трисхилий купол складено з 8 граней: 3+1 = 4 правильних трикутників, 3 квадратів та 1 правильного шестикутника.

Одна трикутна грань оточена трьома квадратами; три трикутних граней оточені двома квадратними та однією шестикутною гранню; квадратні грані оточені трьома трикутними та однією шестикутною гранями; шестикутна грань оточена трьома трикутними та трьома квадратними гранями^{[джерело?]}.

Має 15 ребер однакової довжини: 3+6 = 9 ребер розташовані між квадратною та трикутною гранями, 3 ребра — між трикутною та шестикутною гранями, решта 3 — між квадратною та шестикутною гранями.

У трисхилого купола 9 вершин: 3 вершини оточені двома трикутними та двома квадратними гранями (почергово); 6 вершин оточені трикутною, квадратною та шестикутною гранями.

Трисхилий купол може бути отриманий шляхом поділу навпіл кубооктаедра по шестикутному перерізу між двома протилежними трикутними гранями.

Навпаки, два трисхилих куполи можна поєднати у поверненій орієнтації по шестикутній грані, і отримати кубооктаедр.

Трисхилий купол має вісь поворотної симертії 3-го порядку, що проходить через центри основ; а також три площини дзеркальної симетрії, що проходять через вісь купола та середини сторін нижньої основи^{[джерело?]}.

Формули[ред. | ред. код]

Діагоналі[ред. | ред. код]

Кількість діагоналей опуклого багатогранника: ${\displaystyle {\binom {B}{2}}-P}$ , де В — кількість вершин, Р — кількість ребер багатогранника. Для трисхилого купола:

${\displaystyle {\binom {9}{2}}-15={\frac {9}{2}}\cdot {\frac {8}{1}}-15=21}$ діагоналі (15 граневих та 6 просторових).

Діагоналі трисхилого купола з довжиною ребра ${\displaystyle a}$
	Граневі діагоналі	${\displaystyle AB={\sqrt {2}}\cdot a\approx 1.41421356237\cdot a}$ ${\displaystyle AC={\sqrt {3}}\cdot a\approx 1.73205080756\cdot a}$ ${\displaystyle AD=2\cdot a}$
	Просторові діагоналі	${\displaystyle FC={\sqrt {3}}\cdot a\approx 1.73205080756\cdot a}$

Метричні характеристики[ред. | ред. код]

Для трисхилого купола з довжиною ребра ${\displaystyle a}$:
Радіус описаної сфери (проходить через всі вершини)		${\displaystyle R=a}$
Радіус напіввписаної сфери (дотикається до всіх ребер)		${\displaystyle \rho ={\frac {\sqrt {3}}{2}}\cdot a}$	${\displaystyle \approx 0.8660254\cdot a}$
Вписаної сфери трисхилий купол не має
Висота H (Відстань між паралельними трикутною та шестикутною гранями)		${\displaystyle H={\frac {\sqrt {6}}{3}}\cdot a}$	${\displaystyle \approx 0.81649658\cdot a}$
Площа поверхні		${\displaystyle S=\left(3+{\frac {5{\sqrt {3}}}{2}}\right)\cdot a^{2}}$	${\displaystyle \approx 7.33012701\cdot a^{2}}$
Об'єм		${\displaystyle V={\frac {5}{6}}{\sqrt {2}}\cdot a^{3}}$	${\displaystyle \approx 1.1785113\cdot a^{3}}$

Кути[ред. | ред. код]

Плоскі кути граней при вершині: 60°, 90°, 120°.

Кути багатогранника
Кут між несусідніми ребрами при вершині верхньої основи	${\displaystyle \varphi =\arccos \left(-{\frac {1}{2}}\right)}$	${\displaystyle ={\frac {2\pi }{3}}}$ rad = 120°
Двогранний кут між гранями {3} та {4}	${\displaystyle \alpha =\arccos \left(-{\frac {\sqrt {3}}{3}}\right)=\operatorname {arcsec} \left(-{\sqrt {3}}\right)}$	≈ 2.1862760354 rad ≈ 125°15′ 51.8028′′
Двогранний кут між гранями {3} та {6}	${\displaystyle \beta =\arccos \left({\frac {1}{3}}\right)=\operatorname {arcsec} \left(3\right)}$	≈ 1.2309594173 rad ≈ 70° 31′ 43.60571′′
Двогранний кут між гранями {4} та {6}	${\displaystyle \gamma =\arccos \left({\frac {\sqrt {3}}{3}}\right)=\operatorname {arcsec} \left({\sqrt {3}}\right)}$	≈ 0.9553166181 rad ≈ 54°44′ 8.197142′′
Тілесний кут при вершині нижньої основи (шестикутної)	${\displaystyle \Omega _{1}={\frac {1}{2}}\arccos \left(-{\frac {7}{9}}\right)=2\arcsin \left({\frac {\sqrt {3}}{3}}\right)=}$ ${\displaystyle =4\arctan \left({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}\right)}$	${\displaystyle \Omega \thickapprox 1.2309594}$ ср
Тілесний кут при вершині верхньої основи (трикутної)	${\displaystyle \Omega _{2}=\arccos \left(-{\frac {7}{9}}\right)=4\arcsin \left({\frac {\sqrt {3}}{3}}\right)=}$ ${\displaystyle =8\arctan \left({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}\right)}$	${\displaystyle \Omega _{2}\thickapprox 2.4619188}$ ср
Сферичність	${\displaystyle \Psi ={\frac {2{\sqrt[{3}]{50\pi }}}{6+5{\sqrt {3}}}}}$	${\displaystyle \Psi \thickapprox 0.7360858}$

Центр тяжіння трисхилого купола лежить на його осі симетрії на відстані ${\displaystyle {\frac {\sqrt {6}}{8}}\cdot a}$ від нижньої основи^[3].

Двоїстий багатогранник[ред. | ред. код]

Трисхилий купол не має ні топологічно-двоїстого багатогранника (вершини двоїстого знаходяться в центрах граней вихідного багатогранника), ні канонічно-двоїстого багатогранника (середньовписані сфери обох багатогранників збігаються).

Його двоїстий може бути побудований лише загальним чином (кожній грані вихідного багатогранника відповідає вершина двоїстого, кожній вершині вихідного — грань дуального, з дотриманням симетрії вихідного багатогранника), а тому форми та розміри двоїстого багатогранника до вихідного трисхилого купола можуть різнитися.

Двоїстий до трисхилого купола має 9 граней: 6 трикутників + 3 дельтоїда; 15 ребер, 8 вершин^[4][5].

Двоїстий багатогранник	Розгортка двоїстого

Споріднені багатогранники[ред. | ред. код]

Трисхилий купол належить до родини куполів. Сімейство n-куполів з правильними гранями існує до n = 5 включно.

Сімейство опуклих куполів

n	2	3	4	5	6	7
Назва	Двосхилий купол	Трисхилий купол	Чотирисхилий купол	П'ятисхилий купол	Шестисхилий купол (плоский)	Семисхилий купол (з неправильними бічними гранями)
Символ Шлефлі	{2} || t{2}	{3} || t{3}	{4} || t{4}	{5} || t{5}	{6} || t{6}	{7} || t{7}
Купол
Пов'язані однорідні багатогранники	Трикутна призма	Кубооктаедр	Ромбокубо- октаедр	Ромбоікосо- додекаедр	Ромботри- шестикутна мозаїка[en]	Ромботри- семикутна мозаїка[en]

Два трисхилих куполи можуть бути з'єднані своїми шестикутними основами в прямій орієнтації (поєднуються однойменні бокові грані); отриманий багатогранник — триcхилий прямий бікупол^[en] (J₂₇). Якщо один з куполів повернути на 60º, то отримаємо триcхилий повернутий бікупол, більш відомий як [[Кубооктаедр|кубоктаедр^{[джерело?]}]].

Трисхилий прямий бікупол	Трисхилий повернутий бікупол (кубооктаедр)

Трисхилий купол можна наростити трьома квадратними пірамідами, залишаючи суміжні копланарні грані без змін. Отриманий багатогранник, нарощений трисхилий купол, належить до родини майже багатогранників Джонсона^[en] з компланарними гранями.

Якщо об'єднати ці копланарні трикутники в єдині грані, отримаємо топологічно ще один трисхилий купол, бічні грані якого є рівнобедреними трапеціями. Якщо всі трикутні грані зберегти без змін, а шестикутник в основі розбити на 6 трикутників, вийде копланарний дельтаедр з 22 гранями^{[джерело?]}.

Примітки[ред. | ред. код]

Література[ред. | ред. код]

• Norman W. Johnson^[en]. Convex Solids with Regular Faces // Canadian Journal of Mathematics. — 1966. — Т. 18. — ISSN 0008-414X. — DOI:10.4153/CJM-1966-021-8. (Містить оригінальне перерахування 92 тіл і гіпотезу, що інших немає.)
• Залгаллер В. А. Выпуклые многогранники с правильными гранями. — М.—Л. : Наука, 1967. — Т. 2. — 221 с. — (Зап. научн. сем. ЛОМИ) (Перший доказ, що існує тільки 92 тіл Джонсона.)

Посилання[ред. | ред. код]

• Weisstein, Eric W. Трисхилий купол(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Polytope Wiki.Triangular_cupola
• McCooey, David.TriangularCupola.
• Klitzing, Richard. «tricu»
• Quickfur. «The Triangular Cupola»