二次函数 的二階導數是常數 。微积分 中，函數 f {\displaystyle f} 二階導數 （英語：second derivative 或second order derivative ）是其导数 的導數。粗略而言，某量的二階導數，描述該量的變化率本身是否變化得快。例如，物體位置對時間的二階導數是瞬時加速度 ，即該物體的速度 隨時間的變化率。用萊布尼茲記法
a = d v d t = d 2 x d t 2 , {\displaystyle {\boldsymbol {a}}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {v}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}{\boldsymbol {x}}}{\mathrm {d} t^{2}}},} 其中 a {\displaystyle {\boldsymbol {a}}} v {\displaystyle {\boldsymbol {v}}} t {\displaystyle t} x {\displaystyle {\boldsymbol {x}}} d {\displaystyle \mathrm {d} } d 2 x d t 2 {\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} ^{2}{\boldsymbol {x}}}{\mathrm {d} t^{2}}}} x {\displaystyle {\boldsymbol {x}}}
繪製函数图形 時，二階導數描述曲線的曲率 或凹凸性 。若函數的二階導數為正，則其圖像是向上彎，像隻杯（ ∪ {\displaystyle \cup } ∩ {\displaystyle \cap }
二階導數的冪法則 [ 编辑 ] 連續兩次用一階導數的冪法則
d 2 d x 2 [ x n ] = d d x d d x [ x n ] = d d x [ n x n − 1 ] = n d d x [ x n − 1 ] = n ( n − 1 ) x n − 2 . {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\left[x^{n}\right]={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[x^{n}\right]={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[nx^{n-1}\right]=n{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[x^{n-1}\right]=n(n-1)x^{n-2}.} 公式對任意實數 n {\displaystyle n}
函數 f {\displaystyle f} f ″ {\displaystyle f''} x {\displaystyle x} f ″ ( x ) {\displaystyle f''(x)} [1] [2]
f ″ = ( f ′ ) ′ , {\displaystyle f''=\left(f'\right)',} 其中 ′ {\displaystyle '} 萊布尼茲記法 y {\displaystyle y} x {\displaystyle x}
d 2 y d x 2 . {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}.} 此種寫法的理由是， d d x {\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}} x {\displaystyle x}
d d x ( d y d x ) = d 2 y d x 2 . {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)\,=\,{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}.} 其他記法 [ 编辑 ] 如前段 所記，二階導數標準的萊布尼茲記法為 d 2 y d x 2 {\textstyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}} [註 1] 商法則 。[3] d y d x {\textstyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}}
y ″ ( x ) = ( d y d x ) ′ = ( d y ) ′ ⋅ d x − d y ⋅ ( d x ) ′ ( d x ) 2 = d d x ( d y ) ⋅ d x − d y ⋅ d d x d x ( d x ) 2 = d 2 y d x 2 − d y d x d 2 x d x 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}y''(x)&=\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)'\\&={\frac {(\mathrm {d} y)'\cdot \mathrm {d} x-\mathrm {d} y\cdot (\mathrm {d} x)'}{(\mathrm {d} x)^{2}}}\\&={\frac {{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(\mathrm {d} y)\cdot \mathrm {d} x-\mathrm {d} y\cdot {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {d} x}{(\mathrm {d} x)^{2}}}\\&={\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}-{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} x^{2}}}.\end{aligned}}} 上式中， y ″ ( x ) {\displaystyle y''(x)} d 2 y d x 2 {\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}} d u {\displaystyle \mathrm {d} u} u {\displaystyle u} d ( u ) {\displaystyle \mathrm {d} (u)} d 2 u {\displaystyle \mathrm {d} ^{2}u} d ( d ( u ) ) {\displaystyle \mathrm {d} (\mathrm {d} (u))} d u 2 {\displaystyle \mathrm {d} u^{2}} ( d ( u ) ) 2 {\displaystyle (\mathrm {d} (u))^{2}}
若採此寫法（並依上段解讀各符號含義），則二階導數各項可以自由操作，與其他代數項作運算。例如，二階導數的反函數 公式，可自上式經一輪代數運算而得。二階導數的链式法则 亦然。不過，運算上的方便，與更換符號的不便，孰輕孰重，仍待定論。[4]
考慮
f ( x ) = x 3 , {\displaystyle f(x)=x^{3},} 運用冪法則， f {\displaystyle f} f ′ {\displaystyle f'}
f ′ ( x ) = 3 x 2 . {\displaystyle f^{\prime }(x)=3x^{2}.} f {\displaystyle f} f ′ {\displaystyle f'}
f ′ ′ ( x ) = 6 x . {\displaystyle f^{\prime \prime }(x)=6x.} 另一個例子，考慮正弦函數 sin {\displaystyle \sin }
sin ′ ( x ) = cos ( x ) , {\displaystyle \sin '(x)=\cos(x),} 而再次求導後，得到
sin ″ ( x ) = cos ′ ( x ) = − sin ( x ) . {\displaystyle \sin ''(x)=\cos '(x)=-\sin(x).} 換言之，正弦函數的二階導數是自身的相反數。
與圖像的關係 [ 编辑 ] f ( x ) = sin ( 2 x ) {\displaystyle f(x)=\sin(2x)} x {\displaystyle x} − π / 4 {\displaystyle -\pi /4} 5 π / 4 {\displaystyle 5\pi /4} 0 , π / 2 , π {\displaystyle 0,\ \pi /2,\ \pi } 函數 f {\displaystyle f} 凹性 （concavity ）。[2] 向上凹 （向上彎，又稱為凸函數或下凸函數），意即其切线 總位於圖像下方「承托」。反之，若二階導數在某區間恆負，則函數在該區間向下凹 （向下彎，又稱為凹函數或上凸函數），其切線總位於圖像的上方「壓制」着。
若函數的二階導數在某點的左右異號，則圖像由向上彎轉變成向下彎，或反之。此種點稱為拐點 （inflection point ）。假設二階導數連續 ，則在該點處必取零值，故可用「二階導數為零」之條件，篩選出可能的拐點。不過，二階導數為零的點不一定是拐點，如 f ( x ) = x 4 {\displaystyle f(x)=x^{4}} f ″ ( 0 ) = 0 {\displaystyle f''(0)=0} f {\displaystyle f}
二階導數檢驗 [ 编辑 ] 二階導數與凹凸性的關係，有助判斷函數 f {\displaystyle f} 驻点 （即滿足 f ′ ( x ) = 0 {\displaystyle f'(x)=0} x {\displaystyle x} 局部極大點 或極小點 。具體言之：
若 f ′ ′ ( x ) < 0 {\displaystyle f^{\prime \prime }(x)<0} f {\displaystyle f} x {\displaystyle x} 若 f ′ ′ ( x ) > 0 {\displaystyle f^{\prime \prime }(x)>0} f {\displaystyle f} x {\displaystyle x} 若 f ′ ′ ( x ) = 0 {\displaystyle f^{\prime \prime }(x)=0} 直觀理解，考慮一架賽車高速前進，但正在減速（加速度為負），則當速度降至零的一刻，賽車所在位置即為自起點出發，能達到的前方最遠處，因為此後速度降至負值，賽車會倒車。同樣，若考慮高速後退但加速度為正的賽車，則相應得到關於極小值的結論。
二階導數若存在，則可以衹用一個极限 寫出：
f ″ ( x ) = lim h → 0 f ( x + h ) − 2 f ( x ) + f ( x − h ) h 2 . {\displaystyle f''(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}.} 以上極限稱為二階對稱導數 [5] [6]
右側欲求極限的分式，可理解成差商
f ( x + h ) − 2 f ( x ) + f ( x − h ) h 2 = f ( x + h ) − f ( x ) h − f ( x ) − f ( x − h ) h h . {\displaystyle {\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}={\frac {{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}-{\frac {f(x)-f(x-h)}{h}}}{h}}.} 故其極限可視作序列 二階差分 的連續版本。
然而，上述極限存在並不推出函數 f {\displaystyle f} 符号函数 sgn {\displaystyle \operatorname {sgn} }
sgn ( x ) = { − 1 , 若 x < 0 , 0 , 若 x = 0 , 1 , 若 x > 0. {\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1,&{\text{若 }}\ x<0,\\0,&{\text{若 }}\ x=0,\\1,&{\text{若 }}\ x>0.\end{cases}}} 符號函數在原點不連續，從而不可導，尤其並非二階可導。但是，在 x = 0 {\displaystyle x=0}
lim h → 0 sgn ( 0 + h ) − 2 sgn ( 0 ) + sgn ( 0 − h ) h 2 = lim h → 0 sgn ( h ) − 2 ⋅ 0 + sgn ( − h ) h 2 = lim h → 0 sgn ( h ) + ( − sgn ( h ) ) h 2 = lim h → 0 0 h 2 = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(0+h)-2\operatorname {sgn}(0)+\operatorname {sgn}(0-h)}{h^{2}}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(h)-2\cdot 0+\operatorname {sgn}(-h)}{h^{2}}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(h)+(-\operatorname {sgn}(h))}{h^{2}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{h^{2}}}=0.\end{aligned}}} 二次近似 [ 编辑 ] 正如導數與线性近似 密切相關，二階導數也與二次近似 如影随形。某函數 f {\displaystyle f} 二次函数 ，與 f {\displaystyle f} f {\displaystyle f} a {\displaystyle a}
f ( x ) ≈ f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) + 1 2 f ″ ( a ) ( x − a ) 2 . {\displaystyle f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)+{\tfrac {1}{2}}f''(a)(x-a)^{2}.} 函數的二次近似就是第二階的泰勒多項式 。
本徵值與本徵函數 [ 编辑 ] 因為求導運算為線性 ，所以求導兩次亦可視為函數空間 上的線性算子 ，從而可以研究其譜 。換言之，可求微分方程 v ″ = λ v {\displaystyle v''=\lambda v} v {\displaystyle v} 本徵向量 ）與常數 λ {\displaystyle \lambda } 本徵值 ）。對於許多種邊界條件 ，可以明確求出二階導數的本徵值與本徵向量
舉例，以閉區間 [ 0 , L ] {\displaystyle [0,L]} 狄利克雷条件 （即 v ( 0 ) = v ( L ) = 0 {\displaystyle v(0)=v(L)=0} 本徵值 為 λ j = − j 2 π 2 L 2 {\displaystyle \lambda _{j}=-{\tfrac {j^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}} 本徵向量 （亦稱本徵函數 ） v j {\displaystyle v_{j}}
v j ( x ) = 2 L sin ( j π x L ) {\displaystyle v_{j}(x)={\sqrt {\tfrac {2}{L}}}\sin \left({\tfrac {j\pi x}{L}}\right)} 給出。此處 v j ″ ( x ) = λ j v j ( x ) {\displaystyle v''_{j}(x)=\lambda _{j}v_{j}(x)} j {\displaystyle j}
其他情況的解，見二階導數的本徵值與本徵向量
高維推廣 [ 编辑 ] 黑塞方陣 [ 编辑 ] 二階導數的高維推廣，其一是同時考慮全體二階偏导数 ∂ 2 f ∂ x i ∂ x j {\displaystyle {\tfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}} f : R 3 → R {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }
∂ 2 f ∂ x 2 , ∂ 2 f ∂ y 2 , ∂ 2 f ∂ z 2 , {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}},} 以及混合偏導數
∂ 2 f ∂ x ∂ y , ∂ 2 f ∂ x ∂ z , ∂ 2 f ∂ y ∂ z . {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial z}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial z}}.} 還有其他次序的混合偏導數，如 ∂ 2 f ∂ y ∂ x {\displaystyle {\tfrac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}} 二階導數的對稱性 ，衹要 f {\displaystyle f} 對稱方陣 ，稱為黑塞方陣 （英語：Hessian 或Hessian matrix ）。該方陣的本徵值 適用於多變量情況的二階導數檢驗（稱為二階偏導數檢驗
拉普拉斯算子 [ 编辑 ] 另一種常見推廣，則是衹考慮對同一個變量的二階導數，再求和，得到拉普拉斯算子 （Laplace operator 或Laplacian ）。拉氏微分算子記作 ∇ 2 {\displaystyle \nabla ^{2}} Δ {\displaystyle \Delta }
∇ 2 f = ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 + ∂ 2 f ∂ z 2 . {\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.} 函數的拉氏算子等於梯度 的散度 ，亦是前述黑塞方陣之跡 。
參考文獻 [ 编辑 ] 延伸閱讀 [ 编辑 ] Anton, Howard; Bivens, Irl; Davis, Stephen, Calculus: Early Transcendentals Single and Multivariable 8th, New York: Wiley, February 2, 2005, ISBN 978-0-471-47244-5 Apostol, Tom M., Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra 1 2nd, Wiley, June 1967, ISBN 978-0-471-00005-1 Apostol, Tom M., Calculus, Vol. 2: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications 1 2nd, Wiley, June 1969, ISBN 978-0-471-00007-5 Eves, Howard, An Introduction to the History of Mathematics 6th, Brooks Cole, January 2, 1990, ISBN 978-0-03-029558-4 Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; Edwards, Bruce H., Calculus: Early Transcendental Functions 4th, Houghton Mifflin Company, February 28, 2006, ISBN 978-0-618-60624-5 Spivak, Michael , Calculus 3rd, Publish or Perish, September 1994, ISBN 978-0-914098-89-8 Stewart, James, Calculus 5th, Brooks Cole, December 24, 2002, ISBN 978-0-534-39339-7 Thompson, Silvanus P., Calculus Made Easy Revised, Updated, Expanded, New York: St. Martin's Press, September 8, 1998, ISBN 978-0-312-18548-0 Crowell, Benjamin, Calculus , 2003 [2021-11-28 ] , （原始内容 存档于2012-02-04） Garrett, Paul, Notes on First-Year Calculus , 2004 [2021-11-28 ] , （原始内容 存档于2012-02-05） Hussain, Faraz, Understanding Calculus , 2006 [2021-11-28 ] , （原始内容 存档于2019-03-26） Keisler, H. Jerome, Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals , 2000 [2021-11-28 ] , （原始内容 存档于2011-05-01） Mauch, Sean, Unabridged Version of Sean's Applied Math Book , 2004, （原始内容 存档于2006-04-15） Sloughter, Dan, Difference Equations to Differential Equations , 2000 [2021-11-28 ] , （原始内容 存档于2012-04-14） Strang, Gilbert, Calculus , 1991 [2021-11-28 ] , （原始内容 存档于2010-02-25） Stroyan, Keith D., A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus , 1997, （原始内容 存档于2005-09-11） Wikibooks, Calculus , [2021-11-28 ] , （原始内容 存档于2018-09-03） 
French
Deutsch
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\left[x^{n}\right]={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[x^{n}\right]={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[nx^{n-1}\right]=n{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[x^{n-1}\right]=n(n-1)x^{n-2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffb0cde6e075a5a3b1060dd3c7d05ea45272bb6b)
![{\displaystyle [0,L]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53e3bfad6c2b8297e8c8d2e84ce8f869d69b0d86)
（英语）. 