初等函数 (基本函數)是由常函数 、幂函数 、指数函数 、对数函数 、三角函数 和反三角函数 等经过有限次的有理运算 (加 、减 、乘 、除 、乘方 、开方 )及有限次函数复合 所产生、并且在定义域 上能用一个方程式 表示的函数 。 [1]
一般来说,分段函数 不是初等函数,因为在这些分段函数的定义域上不能用一个解析式表示。
初等函数的全体对算术运算、复合和微分 (求导)是封闭的,但对求极限 、无穷级数 以及积分 不封闭。只有刘维尔函数 (初等函数及其积分)的全体对积分才是封闭的。
此外,部分初等函数不是整函数 ,或者在复数域 上是多值函数 。
名称来源 [ 编辑 ] 之所以称这些函数为“初等函数”或“基本函数”(法语 :fonction élémentaire ),需要从微分代数 的角度考虑。尽管“初等函数”这个概念最初是由约瑟夫·刘维尔 引入的,但目前的通行定义是由约瑟夫·里特 给出的:
一个微分域 F {\displaystyle F} ,定义为某一个域 F 0 {\displaystyle F_{0}} 再加上一个函数对函数的映射 u → f ( u ) {\displaystyle u\rightarrow f(u)} 。其中, f ( u ) {\displaystyle f(u)} 满足以下条件:
f ( u + v ) = f ( u ) + f ( v ) {\displaystyle f(u+v)=f(u)+f(v)} f ( u v ) = u f ( v ) + v f ( u ) {\displaystyle f(uv)=uf(v)+vf(u)} 且该域内的任意常数
C {\displaystyle C} 都满足
f ( C ) = 0 {\displaystyle f(C)=0} 。
在以上定义满足时,一个函数 u {\displaystyle u} 被称为 F {\displaystyle F} 上的初等函数 ,当且仅当该函数至少满足以下三者之一:
是 F {\displaystyle F} 上的代数函数 ; 是 F {\displaystyle F} 上的指数性函数,意即 f ( u ) = u f ( a ) , a ∈ F {\displaystyle f(u)=uf(a),a\in F} ; 是 F {\displaystyle F} 上的对数性函数,意即 f ( u ) = f ( a ) a , a ∈ F {\displaystyle f(u)={\frac {f(a)}{a}},a\in F} 。
常函数 [ 编辑 ] 称 f ( x ) = C {\displaystyle f(x)=C} 为常数函数,其中C 为常数 ,它的定义域为 ( − ∞ , ∞ ) {\displaystyle (-\infty ,\infty )} 。
幂函数 [ 编辑 ] 称形如 f ( x ) = C x r {\displaystyle f(x)=Cx^{r}} 的函数为幂函数,其中C , r 为常数。幂函数的定义域与r 的值有关,但是不管r 取何值,该函数在 ( 0 , + ∞ ) {\displaystyle (0,+\infty )} 上总有意义 。
指数函数 [ 编辑 ] 称形如 f ( x ) = a x {\displaystyle f(x)=a^{x}} 的函数为指数函数 ,其中a 是常数, a > 0 {\displaystyle a>0} 且 a ≠ 1 {\displaystyle a\neq 1} 。该函数的定义域为 ( − ∞ , + ∞ ) {\displaystyle (-\infty ,+\infty )} ,值域 为 ( 0 , + ∞ ) {\displaystyle (0,+\infty )}
对数函数 [ 编辑 ] 称形如 y = log a x {\displaystyle y=\log _{a}x\!} 的函数为对数函数,其中 a > 0 {\displaystyle a>0} 且 a ≠ 1 {\displaystyle a\neq 1} ,是指数函数 y = a x {\displaystyle y=a^{x}} 的反函数 。该函数定义域为 ( 0 , + ∞ ) {\displaystyle (0,+\infty )} ,值域为 ( − ∞ , + ∞ ) {\displaystyle (-\infty ,+\infty )}
三角函数 [ 编辑 ] 正弦函数 [ 编辑 ] 称形如 f ( x ) = sin x {\displaystyle f(x)=\sin x} 的函数为正弦函数,它的定义域为 ( − ∞ , + ∞ ) {\displaystyle (-\infty ,+\infty )} ,值域为 [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]} ,最小正周期为 2 π {\displaystyle 2\pi } 。
余弦函数 [ 编辑 ] 称形如 f ( x ) = cos x {\displaystyle f(x)=\cos x} 的函数为余弦函数,它的定义域为 ( − ∞ , + ∞ ) {\displaystyle (-\infty ,+\infty )} ,值域为 [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]} ,最小正周期为 2 π {\displaystyle 2\pi } 。
正切函数 [ 编辑 ] 称形如 f ( x ) = tan x {\displaystyle f(x)=\tan x} 的函数为正切函数,它的定义域为 { x | x ≠ k π + π 2 , k ∈ Z } {\displaystyle \{x|x\neq k\pi +{\frac {\pi }{2}},\,k\in \mathbb {Z} \}} ,值域为 ( − ∞ , + ∞ ) {\displaystyle (-\infty ,+\infty )} ,最小正周期为 π {\displaystyle \pi } 。
余切函数 [ 编辑 ] 称形如 f ( x ) = cot x {\displaystyle f(x)=\cot x} 的函数为余切函数,它的定义域为 { x | x ≠ k π , k ∈ Z } {\displaystyle \{x|x\neq k\pi ,\,k\in \mathbb {Z} \}} ,值域为 ( − ∞ , + ∞ ) {\displaystyle (-\infty ,+\infty )} ,最小正周期为 π {\displaystyle \pi } 。
正割函数 [ 编辑 ] 称形如 f ( x ) = sec x {\displaystyle f(x)=\sec x} 的函数为正割函数,它的定义域为 { x | x ≠ k π + π 2 , k ∈ Z } {\displaystyle \{x|x\neq k\pi +{\frac {\pi }{2}},\,k\in \mathbb {Z} \}} ,值域为 ( − ∞ , − 1 ] ∪ [ 1 , + ∞ ) {\displaystyle (-\infty ,-1]\cup [1,+\infty )} ,最小正周期为 2 π {\displaystyle 2\pi } 。
余割函数 [ 编辑 ] 称形如 f ( x ) = csc x {\displaystyle f(x)=\csc x} 的函数为余割函数,它的定义域为 { x | x ≠ k π , k ∈ Z } {\displaystyle \{x|x\neq k\pi ,\,k\in \mathbb {Z} \}} ,值域为 ( − ∞ , − 1 ] ∪ [ 1 , + ∞ ) {\displaystyle (-\infty ,-1]\cup [1,+\infty )} ,最小正周期为 2 π {\displaystyle 2\pi } 。
反三角函数 [ 编辑 ] 其它常见初等函数 [ 编辑 ] 双曲函数 [ 编辑 ] 双曲正弦 函数: y = sinh x = e x − e − x 2 {\displaystyle y=\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}} 双曲余弦 函数: y = cosh x = e x + e − x 2 {\displaystyle y=\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}} 双曲正切函数: y = tanh x = sinh x cosh x = e x − e − x e x + e − x {\displaystyle y=\tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}}
反双曲函数 [ 编辑 ] 反双曲正弦函数: y = arsinh x = ln ( x + x 2 + 1 ) {\displaystyle y=\operatorname {arsinh} \,x=\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}})} 反双曲余弦函数: y = arcosh x = ln ( x + x 2 − 1 ) {\displaystyle y=\operatorname {arcosh} \,x=\ln(x+{\sqrt {x^{2}-1}})}
扩展阅读 [ 编辑 ] Davenport, J. H.: What Might "Understand a Function" Mean. In: Kauers, M.; Kerber, M., Miner, R.; Windsteiger, W.: Towards Mechanized Mathematical Assistants. Springer, Berlin/Heidelberg 2007, p. 55-65. [1] (页面存档备份 ,存于互联网档案馆 ) 外部链接 [ 编辑 ] ^ 伍胜健. 数学分析 第一册. 北京大学出版社. 2009: 24. ISBN 9787301156858 .