Urodził się w rodzinie o korzeniach: polskich[1], rosyjskich, litewskich i niemieckich[2]. Był synem wiolonczelisty, Leopolda Rostropowicza, prawnukiem polskiego ziemianina Hannibala Rostropowicza ze Skotnik. Rodzina Rostropowiczów, z której pochodził pieczętowała się herbem Bogoria[1].
Jako czterolatek rozpoczął naukę gry na fortepianie, grać na wiolonczeli zaczął w wieku 10 lat. W 1943 r. rozpoczął naukę w Konserwatorium Moskiewskim. W 1960 został profesorem tego właśnie konserwatorium.
Od pierwszych lat powojennych angażował się w działania na rzecz wolności sztuki, wolności słowa i demokratycznych wartości, za co spotykały go prześladowania ze strony komunistycznej władzy. Już w 1948 Rostropowicz porzucił konserwatorium w proteście przeciwko szykanowaniu swojego nauczyciela Dmitrija Szostakowicza. W 1970 po raz pierwszy udzielił wsparcia Aleksandrowi Sołżenicynowi, za co najpierw pozbawiono go paszportu i zmuszono do koncertowania wraz z żoną na Syberii. W 1974 opuścił razem z rodziną ZSRR. W latach 1977–1994 był dyrektorem artystycznymNational Symphony Orchestra w Waszyngtonie w USA, za co w 1978 roku pozbawiono go wraz z żoną Galiną Wiszniewską radzieckiego obywatelstwa oraz zakazano mu koncertów w kraju. Obywatelstwo radzieckie przywrócono artyście dopiero w 1990[3]. W późniejszych latach Rostropowicz odwiedzał wielokrotnie Rosję, w Berlinie zagrał improwizowany koncert już w dobę po upadku Muru Berlińskiego i opowiedział się po stronie demokracji podczas puczu moskiewskiego w 1991.
Mstisław Rostropowicz uchodził za jednego z najwybitniejszych współczesnych wirtuozówwiolonczeli. W swym obszernym repertuarze uwzględniał także muzykę XX w. Jako dyrygent prowadził orkiestry operowe i symfoniczne. Współpracował z najwybitniejszymi kompozytorami XX wieku. Wielu z nich napisało utwory specjalnie dla niego; wśród nich: Witold Lutosławski (Koncert wiolonczelowy), Dmitrij Szostakowicz (dwa Koncerty wiolonczelowe), Siergiej Prokofjew (Koncert wiolonczelowy, Sonata na wiolonczelę i Symfonia-Koncert), Benjamin Britten (Symfonia na wiolonczelę i orkiestrę, Sonata wiolonczelowa i trzy Suity). Występował też jako pianista[4].
W ostatnich latach życia Rostropowicz mieszkał w Paryżu. Stan jego zdrowia uległ znacznemu pogorszeniu na początku 2007 – pod koniec stycznia trafił do jednego z paryskich szpitali z rozpoznaniem raka jelita grubego i zaledwie kilka dni później, 6 lutego przewieziono go do Moskwy. Słynnego artystę odwiedził w szpitalu prezydent RosjiWładimir Putin.
Zmarł 27 kwietnia 2007, dokładnie miesiąc po swoich 80. urodzinach. Pogrzeb nastąpił dwa dni później – 29 kwietnia 2007. Po nabożeństwie żałobnym w Soborze Chrystusa Zbawiciela.
Na zamówienie Mstisława Rostropowicza lub z jego inspiracji powstało – lub też są jemu dedykowane – wiele dzieł; doliczono się 117 utworów, których był pierwszym wykonawcą. Są wśród nich utwory zaliczane do najważniejszych w repertuarze powstałym w XX wieku:
↑OlgaO.DeszkoOlgaO., Miłość do Rosji – to siła potężna, [w:] Biuletyn OKMO „Trubadur”, Nr 3(16)/2000 [online], trubadur.pl, wrzesień 2000 [dostęp 2011-02-14] [zarchiwizowane z adresu 2006-05-02](pol.).
(niem.) Alexander Ivashkin, Josef Oehrlein – Rostrospektive. Zum Leben und Werk von Mstislav Rostropovich, Internationale Kammermusik Akademie Kronberg, Frankfurt-Schweinfurth 1997, ISBN 978-3-926300-30-0