Критерій узгодженості Пірсона — Вікіпедія

Критерій узгодженості Пірсона — один з найвідоміших критеріїв $\chi ^{2}$ , тому його часто і називають просто «критерій хі-квадрат». Використовується для перевірки гіпотези про закон розподілу.

Ґрунтується на групованих даних. Область значень передбачуваного розподілу $\digamma _{1}$ ділять на деяке число інтервалів.
Після чого будують функцію відхилення ρ по різницях теоретичних імовірностей потрапляння в інтервали групування й емпіричних частот.

Нехай X=(X₁,…, X_n) — вибірка з розподілу $\digamma$ . Перевіряється проста гіпотеза $H_{1}={\digamma =\digamma _{1}}$ проти складної альтернативи $H_{2}={\digamma \neq \digamma _{1}}$ .
Нехай A₁,…, A_k — інтервали групування в області значень випадкової величини з розподілом $\digamma _{1}$ .
Позначимо для j=1,…,k через $\nu _{j}$ число елементів вибірки, що потрапили в інтервал $A_{j}$ :
$\nu _{j}=(X_{i}\in A_{j})=\sum _{i=1}^{n}I(X_{i}\in A_{j})$ ,

і через $p_{j}>0$ — теоретичну ймовірність $P_{H1}(X_{1}\in A_{j})$ попадання в інтервал $A_{j}$ випадкової величини з розподілом $\digamma _{1}$ .
З необхідністю, $p_{1}+...+p_{k}=1$ .
Як правило, довжини інтервалів вибирають так, щоб $p_{1}=...=p_{k}={\frac {1}{k}}$ .
Нехай $\rho (X)=\sum _{j=1}^{k}{\frac {(\nu _{j}-np_{j})^{2}}{np_{j}}}$ (1).

Зауваження[ред. | ред. код]

Якщо розподіл вибірки $\digamma _{2}\neq \digamma _{1}$ має такі ж, як в $\digamma _{1}$ , імовірності $p_{j}$ попадання в кожний з інтервалів $A_{l}$ , то по даній функції $\rho$ ці розподіли розрізнити неможливо.
Тому насправді критерій, який ми побудуємо по функції $\rho$ з (1), вирішує зовсім інше завдання. А саме, нехай заданий набір імовірностей $p_{1},...,p_{k}$ такий, що $p_{1}+...+p_{k}=1$ . Критерій $\chi ^{2}$ призначений для перевірки складної гіпотези H₂^'={розподіл Х₁ має властивість: Р(Х₁ ∈ А_j)=p_j для всіх j=1,…,k} проти складної альтернативи H₂^'={H₁^' невірна}, тобто H₂^'={хоча б для одного з інтервалів ймовірність P(X₁ ∈ А_j) відізняється від p_j}

Правило критерію[ред. | ред. код]

Перед тим, як сформулювати правило прийняття або відкидання гіпотези необхідно врахувати, що критерій Пірсона має правобічну критичну область.

Теорема Пірсона[ред. | ред. код]

Якщо вірна гіпотеза H₁^', то при фіксованому k й при $n\to \infty$ : $\rho (X)=\sum _{j=1}^{k}{\frac {(\nu _{j}-np_{j})^{2}}{np_{j}}}\Rightarrow H_{k-1},$

де, нагадаємо, $H_{k-1},$ є $\chi ^{2}$ -розподіл зі $k-1$ ступенем вільності.

Зауваження[ред. | ред. код]

Насправді критерій $\chi ^{2}$ застосовують і для розв'язку первісного завдання про перевірку гіпотези $H_{1}={\digamma =\digamma _{1}}$ . Необхідно тільки пам'ятати, що цей критерій недостатній для альтернатив з тими ж імовірностями попадання в інтервали розбиття, що й в $\digamma _{1}$ . Тому беруть велику кількість інтервалів розбиття — чим більше, тим краще, щоб «зменшити» число альтернатив, нерозрізнених з передбачуваним розподілом.

Критерій Пірсона для перевірки параметричної гіпотези[ред. | ред. код]

Критерій $\chi ^{2}$ часто застосовують для перевірки гіпотези про вид розподілу, тобто про приналежність розподілу вибірки деякому параметричному сімейству. Є вибірка $X=(X_{1},...,X_{n})$ з невідомого розподілу $\digamma$ .
Перевіряється складна гіпотеза: $H_{1}={\digamma \in {\digamma _{\theta }}}$ ,

де $\theta \epsilon \Theta \subseteq \mathbb {R} ^{l}$ — невідомий параметр (скалярний або векторний), l- його розмірність.
Нехай $\mathbb {R}$ розбите на k>lінтервалів $A_{1}\cup ...\cup A_{k}$ , і $\nu _{j}$ — число елементів вибірки, що потрапили в $A_{j}$ . Але ймовірність $p_{j}=P_{H1}(X_{1}\in A_{j})=p_{j}(\theta )$ тепер залежить від невідомого параметра .
Функція відхилення (1) також залежить від невідомого параметра, і використовувати її в критерії Пірсона не можна — ми не можемо обчислити її значення: $\rho (X,\theta )=\sum _{j=1}^{k}{\frac {(\nu _{j}-np_{j}(\theta ))^{2}}{np_{j}(\theta )}}$ (2.)
Нехай ${\hat {\theta }}={\hat {\theta }}(X)$ - значення параметра $\theta$ , що доставляє мінімум функції $\rho (X,\theta )$ при даній вибірці X .
Підставивши замість дійсних імовірностей p_jїх оцінки $p_{j}({\hat {\theta }})$ , одержимо функцію відхилення: $\rho (X,{\hat {\theta }})=\sum _{j=1}{k}{\frac {(\nu _{j}-np_{j}({\hat {\theta }}))^{2}}{np_{j}({\hat {\theta }})}}$ .

Див. також[ред. | ред. код]

Критерій узгодженості Колмогорова

Джерела[ред. | ред. код]

Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — 6-е изд. — Москва : Наука, 1988. — 446 с.(рос.)
Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)
Кендалл М., Стюарт А. Статистические выводы и связи. — М.: Наука, Физматлит. — 1973. — 899 с. (рос.)